Економічна кібернетика

1.1. Поняття «система»

Згадувані у вступному слові поняття системи, інформації, управління, моделі, зворотного зв’язку застосовують як вихідні, вивчаючи складні системи різної природи. Однак попри всю важливість цих понять для багатьох наукових дисциплін, вони й досі не мають загальновизнаних формальних визначень. Тому до кожної з розглядуваних далі тем спочатку подаватимемо змістовний опис відповідних понять.

Система. Термін «система» широко вживаний як у науковій літературі, так і в повсякденному житті. Під системою розуміють сукупність об’єктів, розглядувану як єдине ціле. Саме в такому сенсі говорять про систему виробництва, систему управління економікою, торговельну систему, систему кровообігу, обчислювальну систему, систему математичних рівнянь тощо.

Отже, формуючи систему, об’єднують як матеріальні — економічні, біологічні, технічні, так і ідеальні (абстрактні) об’єкти — наукові, математичні, керуючись при цьому деякими системотвір­ними ознаками. Наприклад, за ознакою організаційної підпорядкованості побудовано систему міністерства, спільності територій чи функцій — фінансово-кредитну або торговельну систему, субстрату та процесу — систему кровообігу.

Довільний реальний об’єкт має незліченну кількість властивос­тей (характеристик), і за кожною з них його можна віднести до тієї чи іншої системи як її елемент.

Якщо, скажімо, розглядати університет як окрему систему, то з погляду його ректора, проректора з фінансово-господарських питань, головного бухгалтера, начальника служби охорони він складатиметься з різних підсистем та елементів, наділених неоднаковими функціональними властивостями.

Загалом, щоб виокремити систему із зовнішнього середовища, потрібно мати:

об’єкт дослідження, що складається з множини елементів, об’єднаних у деяку сукупність. Цими елементами можуть бути люди, природні об’єкти, технічні пристрої або їхні частини, знаки-символи, слова природної мови тощо;

суб’єкт дослідження — так званого спостерігача;

задачу, що характеризує ставлення спостерігача до об’єкта, зумовлюючи поділ системи на складові (елементи та підсистеми) та вибір їхніх істотних властивостей.

Сукупність цих вимог та певна суб’єктивність неминуча, коли
йдеться про вибір системотвірних ознак, призводять до значних труднощів у разі намагання дати універсальне визначення системи. Тому залежно від мети дослідження застосовують різні підходи до тлумачення терміна «система», які різняться за рівнем абстракції. Обмежимося таким визначенням:

Під системою S розумітимемо множину взаємозв’язаних, взаємозалежних елементів будь-якої природи, які поєднані за деякими системотвірними ознаками, утворюють єдине ціле та підпорядковані певній спільній меті.

Зовнішнє середовище Е — це все те, що не ввійшло до системи.

Входи, виходи системи. Система взаємодіє із зовнішнім середовищем за допомогою своїх «входів» і «виходів».

Вхід системи — це канали, за допомогою яких зовнішнє середовище Е впливає на систему S. Через входи із зовнішнього середовища до системи надходить речовина, енергія, інформація.

Вихід системи — це канали впливу системи S на зовнішнє середовище. Результати процесів перетворення входу (речовина, енергія, інформація) надходять до зовнішнього середовища через «вихід».

Позначивши множину входів символом Х = {Xi} = {X1, X2, …, Xn}, виходів — Y = {Yj} = {Y1, Y2, …, Ym}, а відношення між ними — R, запишемо: YRX.

Елемент системи. Підсистеми. Елемент системи — це неподільна частина системи (за певного способу розбиття її), що має деяку самостійність стосовно всієї системи. Неподільність елементів відносна: її потрібно розуміти як недоцільність у межах розглядуваної моделі даної системи враховувати внутрішню струк­туру окремих складових останньої.

Будь-який об’єкт, узятий за первинний, можна тлумачити як елемент (підсистему) деякої системи вищого рангу. Підсистема — частина системи, виокремлена за тими чи іншими системотвірними (наприклад, функціональними) ознаками. Якщо, скажімо, системою вважати економіку країни, то як підсистеми можна розглядати окремі сектори та галузі економіки.

Будь-яка система може бути підсистемою іншої системи, яка щодо неї є надсистемою. Зовнішнім середовищем даної системи називається система, що складається з елементів, які не належать цій системі.

Елементи системи характеризуються тільки зовнішніми проявами у вигляді взаємодії з іншими елементами, що зумовлюється наявністю зв’язків між ними.

Зв’язок елемента із зовнішнім середовищем моделюється за допомогою його входів і виходів.

Кількісною мірою взаємодії входу (виходу) елемента з відповідним середовищем є інтенсивність цього входу (виходу). Графічну схему елемента зображено на рис. 1.1. У загальному випад­ку елемент розглядається як перетворювач входів на виходи: Y = RX, де R — символічне позначення сукупності перетворень множини входів на множину виходів.

Для того щоб елементи системи могли сприймати, запам’ято­вувати та переробляти інформацію, вони мають бути мінливими, змінюючи свої властивості. Іншими словами елемент може перебувати в різних станах. Кожний елемент характеризується набором показників, причому зі зміною значення хоча б одного з них елемент переходить до іншого стану. Внутрішній стан елемента — це сукупність його істотних властивостей Q = {q1, q2, …, qk}. Система в цілому також може розглядатися як елемент, оскільки вона характеризується своїми показниками і може переходити з одного стану до іншого.

Показники можуть бути кількісними або якісними. Кількісні показники можуть бути неперервними або дискретними. Якісні показники ранжуються здебільшого за рівнем значущості на порядкових або відносних шкалах. До таких показників належать, наприклад, інтелект (коефіцієнт інтелекту), рівень знань студента (оцінка в балах), перевага однієї альтернативи перед іншою.

Елемент може впливати на інші елементи системи, змінюючи їхні стани. Цей вплив може бути енергетичним або інформаційним. Стан елемента може змінюватися сам по собі або в результаті сиг­налів і впливів, що надходять ззовні системи.

Структура систем. Функціонування системи як єдиного цілого забезпечується зв’язками між її елементами. У техніці ці зв’язки формуються під час проектування, у біології вони виникають у процесі зародження й розвитку організму. В економічних системах зв’язки можуть організовуватися у плановому порядку чи стихійно під впливом ринкових механізмів.

Структура системи — це сукупність її елементів і зв’язків між ними, по яких можуть проходити сигнали і впливи.

Взаємодія реальних об’єктів (елементів) системи один з одним та із зовнішнім середовищем є різноманітною та багатоаспектною завдяки значній кількості їхніх властивостей. Тому під час дослідження системи беруть до уваги лише найбільш суттєві зв’язки та властивості, які відчутно впливають на її функціонування, а рештою нехтують.

Розглядаючи поняття входів та виходів (кількість яких скінчена), вважають, що вони моделюють саме істотні зв’язки (матеріаль­но-речовинні й інформаційні) між об’єктами. Отже, поняття
«система» є абстракцією не тільки щодо властивостей реальних об’єктів, а й щодо зв’язків між ними.

1.2. Класифікація та властивості систем

Формуючи класи систем, застосовують різні класифікаційні (сис­темотвірні) ознаки, головними з яких вважають природу та походження елементів, тривалість існування, мінливість властивостей (поводження), ступінь складності, відносини до середовища тощо. Одну з можливих класифікацій систем наведено в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

Класифікація систем

Спинимося докладніше на деяких основних типах систем.

Абстрактні системи складаються з елементів, що не мають фізичних аналогів у реальному світі. Наприклад, системи рівнянь, системи числення, ідеї, плани, гіпотези, теорії тощо.

Штучні — це системи, які створила людина.

Прості системи — такі, що їх можна описати з достатньою точністю.

Великі складні системи — складаються з численних взаємозалежних і таких, що взаємодіють між собою, різнорідних елементів та підсистем. Складні системи мають принципово нові властивості, яких не має жодний зі складових елементів (властивість емерджентності). Приклади складних систем: живий організм, підприємство, галузь економіки, система управління телекомунікаціями і т. ін. Такі системи характеризуються високим рівнем невизначеності свого поводження.

Ізольовані (закриті) системи — на відміну від відкритих систем не обмінюються із зовнішнім середовищем енергією, речовиною або інформацією.

Організаційні системи — соціальні системи, групи, колективи людей, суспільство в цілому.

Кібернетичні системи — складні динамічні системи з управ­лінням. Кібернетична система — це множина взаємозалежних об’єк­тів (її елементів), здатних сприймати, запам’ятовувати і переробляти інформацію, а також обмінюватися нею. Приклади кібернетичних систем: автопілот, регулятор температури, комп’ютер, люд­ський мозок, живий організм, підприємство, людське суспільство.

Кібернетичним системам притаманна низка нових властивостей, яких можуть не мати системи інших типів:

1) багатоваріантність поводження;

2) керованість (інформаційним впливом на систему можна змінити її поводження);

3) наявність керувального пристрою;

4) здатність взаємодіяти з навколишнім середовищем як безпосередньо, так і через керувальний пристрій;

5) існування між системою, середовищем та керувальним пристроєм каналів інформації;

6) здатність інформації, яка циркулює по цих каналах, утворювати зворотні зв’язки, за допомогою яких здійснюється управління поводженням системи з боку органів управління;

7) цілеспрямованість управління системою: воно спрямовує систему до вибору певного поводження або стану, компенсуючи зовнішні збурення;

8) досягнення мети, так само як і поводження системи, має ймовірнісний характер і визначається співвідношенням потужності збурювальних впливів та ефективності керувального пристрою (здатність до переробки інформації та вироблення оптимальних у певному сенсі керувальних впливів);

9) властивість рівноваги, притаманна деяким кібернетичним системам, тобто здатність керувального пристрою повертати систему до початкового стану або до початкового поводження, компенсуючи збурювальні впливи;

10) властивість самоорганізації, також притаманна деяким кібернетичним системам, тобто здатність відновлювати або змінювати свою структуру та спосіб функціонування, компенсуючи збурювальні впливи.

1.3. Загальні підходи до опису систем

Приклад графічного та аналітичного опису системи. Описуючи систему, найчастіше вдаються до двох способів: графічного (схеми, графи) та аналітичного (математичні вирази, системи рівнянь). Скажімо, схему можна розглядати як графічну модель системи. Від схемного опису можна перейти до аналітичного. При цьому передбачається, що кожний з елементів виконує перетворення, яке було притаманне йому, перш ніж його включили до системи.

Нехай елементи системи  — лінійні перетворювачі; φ і f — перетворювачі, що реалізують відповідно функції φ і f;  — суматори.

Звідси маємо:

Кількість ступенів свободи системи — це різниця між загальною кількістю змінних та кількістю рівнянь зв’язків між ними. У розглянутому прикладі система має чотири ступені волі.

Динамічний опис систем. Системи, в яких із часом відбуваються деякі зміни, називають динамічними. Стан системи в довільний момент часу можна описати за допомогою набору певних величин — параметрів, що характеризують виходи системи. Зміну станів системи з часом називають рухом сис-
теми.

Описуючи зміну станів та рух системи, застосовують такі способи:

вербальний — послідовно перелічують та описують характеристики стану системи, дістаючи в результаті перше наближення динамічного опису;

графічний — будують діаграми та графіки, що дають наочне уявлення про динаміку процесу в системі;

табличний — подають кількісну оцінку стану системи в дискретні моменти часу;

математичний — записують функціональну залежність стану системи від часу та значень входів системи.

З погляду математики будь-яка динамічна система описує рух точки у так званому фазовому просторі, або просторі станів. Найважливіша характеристика цього простору — його розмірність, тобто кількість величин, які необхідно задати для визначення стану системи. При цьому не так вже й істотно, що це за величини — вони можуть характеризувати кількість різних представників фауни на певній території, або являти собою змінні, що описують сонячну активність чи кардіограму, або подавати частку виборців, які підтримують президента, і т. ін.

Якщо за координатні осі взяти параметри системи, то значення цих параметрів будуть фазовими координатами, а утворений ними вектор z — станом системи.

Кожному стану системи відповідає певна точка фазового простору — зображувальна точка, а кожному процесу зміни стану (руху) системи відповідає певна траєкторія. Сім’ю цих траєкторій називають фазовим портретом системи. Здебіль­шого фазовий портрет являє собою сім’ю неперетинних кри-
вих .

Фазова траєкторія, характеризуючи переміщення зображуваль­ної точки, відбиває водночас поводження системи під впливом
деяких факторів. Отже, за допомогою фазової траєкторії можна графічно подавати поводження системи.

Нехай  — функції відповідно входів, виходів та стану динамічної системи, тоді цю систему формально можна описати рівняннями спостереження та стану системи

Коли ці функції та функції зміни входів і виходів неперервні, поводження таких динамічних систем часто описують за допомогою диференціальних рівнянь

Для дискретних систем зміна станів визначається загальним розв’язком рівняння..

Розрізняють три характерних типи поводження, або три режими, в яких може перебувати динамічна система: рівноважний, періодичний, перехідний. Рівноважний режим функціонування, або рівновага системи — це здатність її зберігати свій стан як завгодно довго (як за відсутності, так і за наявності зовнішніх збурювальних впливів).

Під стійкістю системи розуміють здатність системи повертатися до стану рівноваги після виведення її з цього стану під впливом зовнішніх збурень. Стан рівноваги, до якого система здатна повертатися, називають стійким станом рівноваги. У складних кібернетичних системах залежно від характеру досліджуваних задач і типу збурень застосовують різні критерії стійкості.

Одним із найбільш поширених є критерій стійкості за Ляпуновим. Стан системи z0 = z(t0) буде стійким за Ляпуновим для всіх , якщо для довільної заданої області допустимих відхилень цього стану  (область  e) існує така область d, що траєкторія довільного руху, яка почалась в області d, не вийде за межі області e.

Періодичний режим функціонування системи — це режим, коли протягом рівних проміжків часу система приходить до одного й того самого стану (потрапляє в точку фазового простору).

Перехідним режимом називається рух динамічної системи з одного стійкого режиму (періодичного або рівноважного) до іншого. Швидкість перехідного процесу характеризує інерційність системи.

Усі ці режими характеризують динаміку розвитку соціально-економічних систем. Скажімо, дослідженню рівноважних станів економіки (моделі ринкової рівноваги) та економічним циклам (сезонні цикли, цикли Кондратьєва) приділяється значна увага в економічні теорії. Щодо перехідних (нестійких) режимів функціонування економіки, то останнім часом істотно змінилися погляди на їхню роль в еволюції економічних систем, що посприяло розвитку нових напрямків, зокрема синергетичної економіки (див. розд. 5).

Функція та схема системи. Довільна система має певну функ­цію та схему. Функцією вважатимемо закон перетворення входів сис­теми на її виходи. Схемою назвемо сукупність елементів, що беруть участь у реалізації функції системи, а також структуру їхніх зв’язків.

Очевидно, що таку дійову систему доводиться описувати вже у двох аспектах: з погляду її функцій і дій та з погляду тих методів і засобів, за допомогою яких ці дії реалізовуються. Відповідно така система матиме і дві структури: функціональну та схемну. Зазначену систему можна подати в матричній формі, де найменуваннями рядків будуть елементарні функції, а найменуваннями стовпців — елементарні схеми. Елементи системи міститимуться на перетині рядків і стовпців цієї матриці. Вектор-рядок елементів, пов’язаних із реалізацією певної функції, буде функціональною підсистемою, а вектор-стовпець елементів — схемною підсистемою, що реалізує певний набір функцій.

Такий двовимірний опис системи зручний для будь-яких типів систем. Наприклад, систему управління підприємством або галуззю можна подати, з одного боку, як певний набір функціональних підсистем (планування, керівництва, обліку, матеріального забезпечення), а з другого — як набір схемних підсистем, що відбивають комплекси методів і засобів, за допомогою яких ці функції реалізовуються (інформаційна підсистема, організаційно-правова підсистема, підсистема технічного забезпечення, підсистема математичного забезпечення і т. ін.).

У процесі дослідження систем постають два типи задач.

1. Задача аналізу — за заданою схемою знайти функцію, що її вона реалізовує. Якщо схемна підсистема сама являє собою велику систему, то задача ставиться так: за заданою схемою знайти ієрар­хічну структуру функцій, що їх вона реалізує. Цю задачу можна сформулювати й інакше: за заданою схемою знайти функцію, що реалізовується цією схемою найкраще, тобто знайти оптимальну функцію даної системи.
2. Задача синтезу — за заданою функцією знайти схему, що її реалізує. Якщо функціональна підсистема складна й велика, то необхідно знайти ієрархічну структуру набору схем, що реалізовує дану функцію.

У загальному випадку можна встановити такий орієнтовний порядок опису та роботи із системою: сформулювати задачу; обмежити об’єкт дослідження, тобто сформулювати критерії добору елементів системи і скласти список або дати визначення тим підоб’єктам, які включаються до системи; у разі відкритої системи дати також ще один список (визначення) тих об’єктів, що розглядаються як середовище; визначити ставлення спостерігача до об’єкта; визначити мову опису системи (тезаурусу, алфавіту, граматики і семантики);  у задачах аналізу на основі спостережень описати схему (структуру) системи та знайти функцію, що реалізовується даною схемою; у задачах синтезу на основі спостережень описати функцію та знайти схему, що реалізовує дану функцію; повністю сформулювати систему, тобто знайти відповідність функцій і схем, описавши всі компоненти системи, їхні властивості та взаємозв’язки, що відбиваються у структурі; подати інтерпретацію результатів, яка полягає у здійсненні перекладу з абстрактної мови системи в більш конкретну, змістов­ну мову опису реального об’єкта.

Для дослідження кожного окремого аспекта системи необхідна відповідна мова опису, яка буде адекватною розв’язанню саме цього аспекта задачі. Для кожного аспекта системи будується своя модель, установлюється взаємозв’язок цих моделей. Кожна з моделей являє собою окрему систему, тому для неї зберігає силу сформульований щойно порядок роботи. Розбіжності виявляються на етапі розгляду складної системи в цілому: для її опису необхідно побудувати об’єднану й розширену метамову, знайти спільну для всіх галузь функціональних або схемних рішень, а в разі розв’язання багатоекстремальної задачі провести операцію послідовної оптимізації.

У роботі зі складною системою неминучі зміщення в послідов­ності етапів роботи, послідовне чергування аналізу і синтезу.

Контрольні запитання та завдання

Охарактеризуйте предмет та методи кібернетики.

Дайте визначення основних понять теорії систем.

Охарактеризуйте місце економічної кібернетики в загальному комплексі економічних наук.

Які методи використовуються в економічній кібернетиці?

Наведіть класифікацію та властивості систем.

У чому полягає динамічний опис систем?

У чому полягають завдання аналізу та синтезу при дослідженні систем?

2.1. Соціально-економічні системи та їхні властивості

З огляду на розглянуті вище способи класифікації систем та їхні властивості соціально-економічні системи можна віднести до складних імовірнісних динамічних систем, в яких відбуваються процеси виробництва, розподілу, обміну й споживання матеріальних та інших благ. Ці системи належать до класу кібернетичних систем, тобто систем з управлінням.

Серед систем, створюваних людьми, можна виокремити особливу категорію так званих цілеспрямованих систем, до яких належать соціально-економічні системи. Це такі системи, що мають ціль функціонування та містять у своєму складі людей як елементи. Такі системи являють собою надзвичайно складні об’єкти.

Спинимося на особливостях економіки як системи в цілому. Розглядаючи економіку на макрорівні, під економічною системою можна розуміти систему виробництва, розподілу, обміну та споживання матеріальних благ. Іноді економічну систему тлумачать як упорядковану систему взаємозв’язків між виробниками та споживачами матеріальних благ або як сукупність економічних процесів, що пов’язані з розподілом обмежених ресурсів.

Отже, з позиції системного підходу економіку країни можна визначити як функціональну підсистему суспільства — сукупність взаємозв’язаних ресурсів та економічних суб’єктів, що взаємодіють між собою у сфері виробництва, розподілу, обміну та споживання, утворюючи єдине ціле.

Соціально-політичні фактори розглядаються як зовнішні стосовно процесу матеріального виробництва, і саме вони визначають його ціль. За такого підходу економіка постає системою, яка перетворює ресурси на матеріальні блага, що споживаються суспільством

З одного боку, суспільство виступає як споживач, що визначає сукупність вимог до матеріальних благ — результату діяльності еко­номіки, формуючи її у вигляді інформаційної підсистеми суспільних потреб (стосовно асортименту, обсягів, якості матеріальних благ тощо). Із другого боку, суспільство безпосередньо бере участь у процесі виробництва. Розбіжність між суспільними потребами та можливостями їх задоволення є рушієм розвитку економічної системи.

Економіка як система має не лише загальносистемні, а й специфічні властивості. До загальносистемних властивостей економіки можна віднести її цілісність та подільність, ієрархічність побудови.

Економіка складається з елементів та підсистем, якими можна вважати її галузі та сектори, окремі господарські одиниці (підприємства, фірми, банки тощо). Цілісність економічної системи полягає в тому, що всі її елементи мають бути засобом досягнення спільних цілей, які постають перед системою в цілому. Забезпечити цілісність економіки покликане управління нею. Адже, як уже зазначалося, цілі окремих підсистем системи можуть суперечити одна одній та цілі всієї системи.

Ієрархічність економіки полягає в тому, що вона є підсистемою в системі вищого порядку — у регіональній та світовій економіці, а водночас надсистемами для економіки є природа та суспільство. Окрім цього, кожний її компонент (галузь, підприєм­ство) також є системою. До найважливіших підсистем економіки можна віднести підсистеми управління, виробничу та фінансово-кредитну підсистеми.

Спрощену агреговану графічну модель виробничої підсистеми, що виробляє, розподіляє та споживає продукцію наведено на рис. 2.2 (тут не зображено контурів управління, потоків експорту та імпорту продукції, інформаційних потоків тощо).

Зауважимо, що економіку з огляду на її складність не можна звести до якоїсь однієї ієрархії.

Специфічні властивості національної економіки виникають у процесі взаємодії (кооперації) її підсистем. Найбільш істотною специфічною особливістю економічної системи є її складність.

Важливою властивістю складних систем є емерджентність — тобто наявність таких специфічних властивостей системи, які не випливають з властивостей, притаманних її елементам, а виникають у процесі їхньої взаємодії як наслідок відповідних кооперативних ефектів. Саме емерджентні властивості економічних систем є найменш доступними для спостереження та вимірювання, що вельми утруднює дослідження таких систем та управління ними. Загаль-
ні закономірності появи нових властивостей, породжуваних об’єд­нанням економічних об’єктів, явищ та процесів, можна виявити та кількісно описати, лише проаналізувавши значний обсяг інформації.

Складність економічної системи полягає передусім у тому, що зміна структури, зв’язків та поводження довільного економіч­ного суб’єкта впливає на решту економічних суб’єктів і спричиняє зміну системи в цілому. Водночас будь-яка зміна в системі на макрорівні позначається на структурі, зв’язках та поводженні економічних суб’єктів.

Ще однією ознакою складності економічної системи є наявність великої кількості як прямих, так і зворотних зв’язків (матеріальних, інформаційних) між її елементами та підсистемами.

Суспільство в цілому та економічна сфера як його частина настільки складні, що потребують існування особливої підсистеми, яка має забезпечувати їхню єдність та цілісність. Саме такою є підсистема управління (законодавча, виконавча, судова  гілки влади, силові структури тощо).

Таким чином, можна виокремити дві сфери економіки: управління та контролю і реальну. Перша сфера охоплює державу та її територіальні утворення, а друга — підприємства, фірми, організації, домогосподарства та людину, що бере участь у соціально-еконо­мічних зв’язках. Усередині кожної сфери та між ними циркулюють потоки інформації. Компоненти цих сфер взаємодіють завдяки наявності в них суперечливої системи потреб та цінностей. Взаємозв’язок компонентів реальної сфери економіки забезпечує ринок.

Отже, подамо основні властивості, притаманні соціально-економічним системам, які необхідно враховувати під час їх дослідження: емерджентність як найвищий прояв цілісності та складності; динамічність економічних процесів, що полягає у зміні параметрів та структури економічних систем під впливом зовнішніх і внутрішніх факторів;  стохастичний характер економічних явищ, з огляду на який для їх опису застосовуються статистичні методи дослідження, а це означає, що поводження економічних систем не піддається точ­ному детальному опису та прогнозуванню;  закономірності економічних процесів можна виявити тільки на підставі достатньої кількості спостережень; економіка як складна система має здатність до самоорганізації; її підсистеми не мають чітких меж: один і той самий елемент (економічний суб’єкт) може одночасно брати участь у різних процесах функціонування економіки, може бути елементом багатьох її підсистем; економічні процеси не можна ізолювати від зовнішнього середовища та спостерігати їх у «чистому» вигляді.

Щоб описати економічну систему, необхідно виокремити її компоненти, тобто виконати аналіз (декомпозицію) її структури, визначити її складові (підсистеми, елементи, входи, виходи), а також зв’язки між ними та зовнішнім середовищем.

Залежно від мети дослідження економіки можна брати різні «первинні» елементи: індивіда з його потребами, домогосподарство, елементарну технологічну операцію, підприємство, галузь, усю економіку в цілому. Компоненти та елементи економіки характеризуються складною системою взаємозв’язків — як безпосередніх, так і опосередкованих, прямих і зворотних, функціональних, причинних, інформаційних.

2.2. Механізми негативних та позитивних зворотних зв’язків в економіці

Механізм негативного зворотного зв’язку забезпечує відновлення та підтримання рівноваги (порядку) в системі. Цей механізм існує в системах різних типів: природних, технічних, біологічних, економічних тощо. Принцип регулювання за допомогою зворотних зв’язків є одним із ключових у кібернетиці. Якщо значення параметрів регулювання відхиляються на виході від заданих, що свідчить про порушення рівноваги в системі або про неоптимальний режим її функціонування, то завдяки механізму зворотного зв’язку відбувається таке коригування входів системи, щоб рівновага в ній відновилась. Але повністю компенсувати збурення, особливо коли вони інтенсивні, доволі складно. Це можна зробити лише у штучних технічних системах.

У складніших системах, зокрема біологічних, соціально-еко­номічних, за допомогою механізму негативних зворотних зв’яз­ків підтримується стан динамічної рівноваги. Так, у біології відоме явище гомеостазису — підтримання стійкої рівноваги між життєво важливими функціями організму, що еволюціонує. У загальнішому сенсі йдеться про підтримання програми функціонування системи. Наприклад, «невидима рука», що в ринковій економіці збалансовує попит і пропозицію, встановлюючи рівноваж­ні ціни, і є механізмом гомеостазису.

Щодо ринкової рівноваги, то вона означає встановлення спонтанного порядку, оскільки немає управляючого органу, який дістає інфор­мацію про відхилення від рівноваги між попитом і пропозицією та
коригує ціни, повертаючи систему до рівноважного стану. Спонтанна рівновага встановлюється на ринку внаслідок взаємодії продавців і споживачів. Кожний із них діє свідомо, маючи власні цілі, але в результаті їхніх спільних дій виникає єдиний для всіх порядок, що полягає у встановленні рівноважних цін та обсягів продукції.

Негативні зворотні зв’язки, компенсуючи відхилення, не завжди повертають систему до вихідних параметрів рівноваги (зокрема, до вихідних значень рівноважних цін та обсягів продукції). Це й означає, що йдеться про динамічну рівновагу.

Згідно з принципом позитивних зворотних зв’язків деякі зміни в системі не пригнічуються, а нагромаджуються та підсилюються, що може призводити до кумулятивних ефектів — переходу системи до нерівноважного стану. Далі система або руйнується, або принципово перебудовується зі зміною структури, функцій тощо.

Зауважимо, що терміни «негативні» та «позитивні» стосовно зв’язків означають лише той факт, що негативні зв’язки гасять флуктуації, повертаючи систему до стану рівноваги, а позитивні — підсилюють флуктуації, переводячи систему до нерівноважного стану. При цьому «негативні» зворотні зв’язки можуть нейтралізувати як небажані в системі та середовищі збурення, так і корисні зміни. Коли, скажімо, в економіці застосовується жорстке, централізовано-адміністративне управління, нерідко корисні інновації, новітні технології, ефективне впровадження яких потребує перебудови структури й законів функціонування економічної системи, зміни свідомості керівників та перебудови підсистеми управління, механізм негативних зворотних зв’язків блокує, повертаючи систему до стану рівноваги, далекого від оптимального.

Позитивні зворотні зв’язки також можуть відігравати як сприятливу, так і несприятливу роль. Наприклад, зі зростанням інвестицій зростає ефективність виробництва, а це, своєю чергою, сприяє залученню нових інвестицій, які стимулюють подальше зростання виробництва, і т. д. (формула «капітал на капітал»). Як приклад небажаної, руйнівної дії позитивних зворотних зв’язків можна навести механізм розгортання гіперінфляційної спіралі, коли в нерівноважному стані економіки зростання цін через механізм причинно-наслідкових зв’язків спричиняє подальший виток зростання цін.

Підсумовуючи сказане, наголосимо, що кібернетичні системи з вбудованим механізмом зворотних інформаційних зв’язків завдяки залученню до процесу функціонування результатів попередніх дій здатні ефективно самоорганізовуватися та налагоджувати взаємовідносини із середовищем, керувати своїм розвитком, протидіючи негативним флуктуаціям та підтримуючи гомеостатичний стан (динамічну рівновагу). Отже, розгляд економіки як кібернетичної системи має важливе прикладне значення для виявлення контурів прямих та зворотних зв’язків, відстежування ін­формаційних потоків, створення ефективних організаційних систем управління тощо.

2.3. Системний аналіз економічних систем

З метою дослідження властивостей економічних систем доводиться застосовувати прийоми «системного мислення», яке допомагає розкривати взаємозв’язки між різними складовими систем. Системний підхід дає змогу глибше зрозуміти причини багатьох явищ, які в розрізненому вигляді здаються випадковими, але об’єднані в систему сприяють виявленню закономірностей їх перебігу.

Із системного підходу випливає новий погляд на ефективність функціонування соціально-економічних систем: взаємодія між окремими частинами системи набагато більше впливає на її ефективність, ніж результативна робота зазначених частин.

Методики, що реалізують принципи системного аналізу в конкретних умовах, спрямовані на формалізацію процесів дослідження системи, а також постановки та розв’язування проблеми. Ці методики розробляються та використовуються тоді, коли в дослідника нема достатньої інформації про систему, на підставі якої можна було б знайти адекватний метод формального її подання (або розв’язування проблеми).

Спільним для всіх методик системного аналізу є формування варіантів подання системи (процесу розв’язування задачі) та вибір найкращого з них. На різних стадіях дослідження — від інтуїтивної постановки проблеми до вибору оптимальних розв’язків за допомогою строгих математичних методів — використовуються ті чи ті наукові методи й прийоми, що складаються з кількох етапів аналізу, зміст яких залежить від складності розв’язуваної задачі.

Особливо важливе значення системний аналіз має в дослідженні складних економічних систем, таких як галузі і сектори економіки, економіка в цілому та система управління нею. Системний аналіз економіки полягає у вивченні економічних явищ і чинників за допомогою дослідження їх як взаємозв’язаних економічних підсистем єдиної системи народного господарства. Системний аналіз використовується, насамперед, для вивчення цілей розвитку економічного об’єкта, з яких випливатимуть цілі розвитку й удосконалення системи управління.

Розглянемо основні ідеї та концептуальні засади системного підходу на прикладі галузі. Метод системного аналізу на галузевому рівні має враховувати те, що цілі та перспективи розвитку галузі випливають із загальнодержавних цілей розвитку суспільства та потреби економіки загалом у її продукції й послугах. Галузь як комплекс підприємств, підпорядкованих певному міністерству чи комітету, вивчається у складі відповідного економічного сектору з урахуванням його макроекономічних цілей, які виокремлюються згідно з їхнім місцем у досягненні стратегічних цілей країни.

Галузь розглядається як порівняно ізольована система з урахуванням її технологічної спеціалізації у процесі виробництва; специфіки її економічної організації як самостійної господарської підсистеми; соціальної структури зайнятого в цій галузі населення; її розміщення на території країни тощо.

Окрім того, беруться до уваги всі підсистеми галузі, які частково утворюють самостійні господарські об’єкти, а частково являють собою управлінські організації та різного типу інформаційні системи, через які здійснюється взаємозв’язок складових галузі. Вивчається вона в динаміці її розвитку як у довготерміновій (15—20 років), так і в короткостроковій перспективі, причому з позицій ефективного функціонування в кожний поточний період.

Для системного аналізу використовується комплекс економіко-математичних моделей досліджуваної системи. На галузевому рівні метод математичного моделювання має такі особливості:

модель розвитку даної галузі являє собою один із блоків загального комплексу моделей розвитку економіки;

технологія та економіка цієї галузі описуються загальною балансовою економічною моделлю;

процеси розвитку галузі характеризуються комплексом динамічних моделей, що містить економіко-математичні моделі кожного господарського її об’єкта, адресовані конкретним органам, які керують галуззю;

увесь комплекс моделей розвитку та поточного функціонування галузі має бути пов’язаний єдиним комплексом критеріїв оптимальності (та відповідних їм планових і облікових показників), які випливають з аналізу ролі галузі в перспективному розвитку економіки.

Процес системного аналізу розвитку галузі можна поділити на чотири стадії.

Перша стадія — визначення системи, її загальної мети (яка випливає з розгляду ролі системи в надсистемі) та критеріїв, що забезпечують подальший вибір оптимального шляху досягнення цієї загальної мети.

Вираження галузевого критерію в кількісній формі забезпечує можливість точного кількісного вираження цілей підсистем, критеріїв оцінювання їх функціонування, а також формування, з одного боку, критеріїв оптимальності для всього взаємозв’язаного комплексу моделей планування і регулювання галузі, а, з другого боку — системи показників та важелів економічного регулювання. Іноді вдається сформулювати критерії тільки на якісному рівні.

Друга стадія системного аналізу полягає в побудові й аналізі дерева цілей. Це найбільш трудомісткий і результативний етап роботи. Побудова дерева цілей має доводитись до рівня задач, розв’язування яких уже не викликає принципових труднощів.

Третя стадія системного аналізу розвитку галузі починається зі складання вичерпного плану заходів, що мають на меті досягнення цілей галузі. Ці заходи розміщуються на нижньому рівні дерева цілей і добираються за допомогою системи моделей розвитку галузі.

Заходи можуть й поділятися, скажімо, на такі групи: економічні; адміністративно-правові; спрямовані на вдосконалення управління;  у сфері капіталовкладень і будівництва; у сфері науково-технічного прогресу й модернізації фондів.

Щоб забезпечити здійсненність цих заходів, їх потрібно згрупувати також за ознаками компетенції урядових органів, міжвідомчого узгодження.

Найбільш важливим і результативним групуванням заходів є їх поділ за ступенем ефективності. Ефективність розглядається стосовно досягнення цілей, сформульованих у дереві цілей, де, зокрема, досягнення певної економічної ефективності є однією з цілей. Для розрахунку ефективності використовують евристичні методи та алгоритми (наприклад, метод Делфі). Згідно з експертними оцінками заходи групуються в логічній та часовій послідовності.

Четверта стадія — діагностування, тобто виявлення всього комплексу актуальних нерозв’язаних проблем, диспропорцій та їх причин. Мета діагнозу — специфікація розроблюваної системи, уточнення вимог до неї, створення організаційного плану послідовної побудови системи, добір засобів та методів управління нею.

Діагноз системи полягає в безпосередньому обстеженні об’єкта та включає в себе, з одного боку, вивчення документації, а з другого — масове виявлення та аналіз думок співробітників.

Абсолютна більшість інформації, яка може бути одержана при обстеженні, відноситься не до «хвороб» управління, а швидше до симптомів, в яких виявляється розлад інформаційної системи управління. Як правило, причини цих розладів усвідомлюються рідко, тому головна мета діагнозу — встановити ці причини. На основі аналізу матеріалів опитування визначається комплекс симптомів розладу управління в термінах «недоліків управління»; на підставі такого аналізу виявляються розлади інформаційної системи та їх причини; добираються інформаційні механізми управління; формулюються їх взаємозв’язані комплекси.

Діагностичний аналіз проблем управління економікою в цілому складається з таких основних етапів:

виявлення проблем управління на основі вивчення симптомів і дисфункцій міжгалузевих, територіально-виробничих, технологічних, функціональних комплексів та економіки в цілому; ідентифікація та опис проблем; побудова дерева проблем; виявлення першочергових проблем і розробка рекомендацій щодо послідовності їх розв’язання;

добір методів і засобів для розв’язання першочергових проблем з оцінювання ефективності їх реалізації;

уточнення дерева цілей, комплексів моделей та алгоритмів;

розробка організаційного проекту створення інформаційної системи.

Діагностика виконується в межах міжгалузевих, територіально-промислових, технологічних та функціональних комплексів економіки.

Результати діагностичного аналізу на макроекономічному рівні мають містити уточнений варіант дерева цілей і критеріїв розвитку економіки та пов’язані з ним дерева цілей міжгалузевих, територіально-виробничих, технологічних і функціональних комп­лексів; перелік основних проблем кожного комплексу, їх зв’язок між собою та проблемами розвитку економіки в цілому (дерево проблем); перелік і зв’язок основних дисфункцій з кожного комплексу у виробничому та управлінському аспектах за основними напрямками діяльності; аналіз основних причин виникнення проблем і дисфункцій; конкретні рекомендації щодо вдосконалення чинної системи планування і управління, згруповані за основними напрямками діяльності; проект організаційного плану науково-дослідних, проектно-конструкторських і дослідно-впроваджу­вальних робіт; уточнений варіант сіткового графіка створення системи тощо.

Контрольні запитання та завдання

Як ви розумієте термін «соціально-економічна система»?

Чим характеризуються соціально-економічні системи?

У чому полягають емерджентні властивості економіки?

Дайте опис соціально-економічних систем різних типів (підприємство, фінансово-кредитні установи, галузі економіки, органи державного управління, економіки в цілому) як кібернетичних систем.

Наведіть приклади негативних та позитивних зворотних зв’язків в економіці.

В чому полягає сутність застосування системного підходу до дослідження соціально-економічних систем?

Наведіть основні етапи проведення системного дослідження соціально-економічних систем.

Список додаткової літератури до розділу 1

Богданов А. А. Тектология: Всеобщая организационная наука. В 2 кн. / Под ред. Л. И. Абалкина. — М.: Экономика, 1989.

Винер Н. Я. — математик. — М.: Наука, 1967. — 234 с.

Гелднер К. Кибернетика и ее будущее: Пер. с нем. — М.: Радио и связь, 1983. — 96 с.

Дружинин В. В., Конторов Д. С. Системотехника. — М.: Радио и связь, 1985. — 200 с.

Исследования по общей теории систем. Сб. статей: Пер с англ. и польск. — М.: Прогресс, 1969. — 520 с.

Кибернетика и ноосфера. — М.: Наука, 1986. — 160 с.

Клаус Г. Кибернетика и общество. — М.: Прогресс, 1967. — 432 с.

Клаус Г. Кибернетика и философия. — М.: ИЛ, 1963. — 531 с.

Моисеев В. Д. Центральные идеи и философские основы кибернетики. — М.: Мысль, 1965. — 326 с.

Моисеев Н. Н. Люди и кибернетика. — М.: Мол. Гвардия, 1984. — 224 с.

Николаев В. И., Брук В. М. Системотехника: методы и приложения. — Л.: Машиностроение, 1985.

Оптнер С. Л. Системный анализ для решения деловых и промышленных проблем. — М.: Сов. радио, 1969.

Острейковский В. А. Теория систем. — М.: Высш. шк., 1997. — 240 с.

Перегудов Ф. И., Тарасенко Ф. П. Введение в системный анализ. — М.: Высш. шк., 1989. — 367 с.

Пономаренко О. І., Пономаренко В. О. Системні методи в економіці , менеджменті та бізнесі. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.

Шарапов А. Д., Сиднев С. В. Системный анализ. Учеб. пособие. — К.: Техника, 1993. — 573 с.

Шарапов О. Д., Дербенцев В. Д., Семьонов Д. Є. Системний аналіз. Навч.-метод. посібник для самост. вивчення дисципліни. — К.: КНЕУ, 2003. — 154 с.

3.1. Інформація

Інформація — одне з головних понять кібернетики. Незважаючи на інтуїтивну зрозумілість терміна «інформація» та його велике значення для багатьох наукових дисциплін, не існує його загальноприйнятого визначення. У побуті слово «інформація» ототожнюється зі змістом якихось відомостей, які можуть набирати форми усного повідомлення, листа, доповіді, результатів деякого дослідження, спостереження тощо.

Залежно від галузі дослідження та від класу розв’язуваних задач користуються різними визначеннями інформації. Розглянемо кілька підходів до визначення інформації.

Інформація — це сукупність сигналів, сприйманих нашою свідомістю, які відбивають ті чи інші властивості об’єктів і явищ зовнішнього світу. Природа цих сигналів передбачає наявність принципової можливості їх зберігання, передавання та обробки [12].

Наведене визначення має суто описовий, пояснювальний характер, не претендуючи на строгість та всебічність. Наведемо інші визначення інформації.

Інформація — це позначення змісту, який здобуто із зовнішнього світу (Н. Вінер);

Інформація — це спосіб передавання різноманітності (Р. Ешбі [45]);

Інформація — це комунікація, зв’язок, у процесі якого зменшується невизначеність (К. Шенон [11]).

Останнє визначення спирається на схематичне подання процесу передавання інформації, згідно з яким можна виокремити передавач та приймач інформації. Унаслідок їх взаємодії і виникає інформація — деяке повідомлення, що тим чи іншим способом зменшує необізнаність споживача (приймача) щодо деякого факту, об’єкта, явища.

У кібернетиці, визначаючи термін «інформація», акцентують увагу на тому факті, що вона усуває невизначеність, розуміючи інформацію як повідомлення, відомості про якусь подію, чиюсь діяльність чи розвиток якогось процесу, що зменшує нашу необізнаність про зазначені явища.

Більш повно можна визначити інформацію, зіставляючи це поняття з іншими важливими поняттями того самого термінологічного ряду, а саме: «знання» і «дані».

Під даними, як правило, розуміють інформацію, подану в певних формах, адекватних можливим процесам її обробки.

Знання — це інформація, на основі якої за допомогою логічних міркувань можна дістати певні висновки.

Розглянемо взаємозв’язок між цими поняттями. У світі безперервно відбуваються події, що полягають у змінюванні станів об’єктів. Ці події (точніше, не вони самі, а люди, які планують або реєструють їх) породжують повідомлення, які можна зафіксувати на довільному носії в деякій знаковій системі. Сукупність повідомлень та фактів про реальні події, що не співвіднесені з можливостями їх використання, називають даними.

Якщо ці дані досягають певного споживача і якщо він співвідносить здобуті дані з певними можливостями їх використання (наприклад, формулює деяку нову задачу управління), то в цьому разі дані несуть певні знання. Отже, знання — це комунікація, зв’язок об’єкта і спостерігача (знання спостерігача про об’єкт).

Якщо ж спостерігач розв’язує певну задачу управління об’єктом, то повідомлення, передані за допомогою даних, які безпосередньо корисні йому під час розв’язування задачі, розглядатимуться як інформація. Таким чином, інформація існує лише в системі, що складається зі спостерігача, задачі та об’єкта дослідження.

3.2. Дані та операції з ними

У ході інформаційного процесу дані перетворюються з одного виду на інший за допомогою певних методів. Обробка даних містить багато різних операцій. Розглянемо основні операції, виконувані з даними: збір даних — нагромадження даних з метою забезпечення повноти тієї чи іншої інформації для прийняття рішень;  формалізація даних — зведення даних, здобутих із різних джерел, до однакової форми з метою зробити їх порівнянними;  фільтрація даних — відсіювання зайвих (таких, в яких немає потреби під час прийняття рішень) даних. При цьому має знижуватись рівень «шуму» і зростати достовірність та адекватність даних;  сортування даних — впорядкування даних за деяким критерієм з метою їх якомога зручнішого використання;  архівування — організація зберігання даних у зручній, компактній формі з метою зниження економічних витрат на зберігання та підвищення надійності інформаційної системи (ІС);  захист — комплекс дій, спрямованих на запобігання втратам, модифікації або несанкціонованому доступу до даних та їх тиражуванню;  транспортування — приймання та передавання даних між віддаленими учасниками інформаційного процесу;  перетворення даних — тобто перетворення даних з однієї форми або структури на іншу. Таке перетворення може бути по­в’язане зі зміною типу фізичного носія. Наприклад, у результаті сканування дані, що містяться на паперовому носії, набирають електронної форми. Перетворюють дані передусім з метою їх транс­портування. Так, для передавання цифрових даних за допомогою телефонних мереж необхідно перетворити їх до аналогового вигляду за допомогою спеціального пристрою — модема.

Форми подання даних, структури даних. Робота з великими обсягами інформації автоматизується набагато простіше, коли дані впорядковані, тобто утворюють певну структуру. Структура інформації — це те, що відбиває взаємозв’язки між її складовими (елементами).

Якщо дані зберігаються в організованій формі, тобто певним чином впорядковані (структуровані), то кожний елемент даних набуває нової властивості, яку можна назвати адресою, що визначає розміщення, розташування, місцезнаходження цього елемента стосовно решти.

Найпоширенішими є такі три типи структур: лінійні, ієрар­хічні, табличні.

Лінійні структури — це добре відомі списки. Список — найпростіша структура даних, в якій кожний елемент однозначно визначається своїм номером. Наприклад, журнал відвідування студентами занять має структуру списку, оскільки кожний студент групи зареєстрований під своїм унікальним номером. Отже, лінійні структури даних — це впорядковані структури, в яких адреса елемента однозначно визначається його номером.

Табличні структури відрізняються від лінійних тим, що елементи даних визначаються адресою комірки, яка складається не з одного параметра, а з кількох. Зокрема, для прямокутних таблиць адреса комірки визначається номером рядка та номером стовпця. Згадуваний уже журнал відвідування можна розглядати і як табличну структуру. Узагальненням двовимірних (прямокутних) таблиць є багатовимірні таблиці.

Ієрархічні структури. Дані, які важко подати у вигляді списків та таблиць, часто подають у вигляді ієрархічних структур. В ієрархічній структурі адреса кожного елемента визначається шляхом доступу (маршрутом), що веде з вершини структури до кожного елемента.

Структури у вигляді списків і таблиць найпростіші. Ними легко користуватись, а до того ж їх неважко впорядковувати. Основним методом впорядкування є сортування. Дані можна відсортовувати за довільно обраним критерієм, наприклад, за абеткою, за зростанням порядкового номера тощо.

Але прості структури, незважаючи на всю їхню зручність, мають певні недоліки. Передусім їх важко поновлювати, оскільки з додаванням до таких впорядкованих структур довільного елемента можуть змінюватись адреси інших елементів. Тому в системах автоматичної обробки інформації необхідні спеціальні засоби для розв’язання цієї проблеми.

Ієрархічні структури за формою складніші, але в них не постає проблем з оновленням даних. Їх легко розвивати, створюючи нові рівні. Недоліком ієрархічних структур є трудомісткість запису адреси елемента, зумовлена зростанням шляху доступу, а також складність їх упорядкування.

3.3. Кодування інформації

Розглянемо основні поняття, що пов’язані з кодуванням та передаванням інформації. Подією називатимемо кожну кількісну чи якісну визначеність станів динамічної системи, яка фіксується спостереженнями .

Можна кожному стану системи поставити у відповідність певне значення чи послідовність значень деякої величини. За допомогою цієї величини можна здійснити передавання повідомлення (відомостей про подію, інформації про подію) від одного об’єкта до іншого.

Фізичний процес, що являє собою матеріальне втілення повідомлення, називається сигналом.

Система або середовище, де здійснюється передавання сигналу, називається каналом зв’язку.

Будь-які повідомлення, що підлягають передаванню по каналах зв’язку, переробці в кібернетичній системі, мають бути попередньо закодовані, тобто «перекладені» мовою сигналів.

Кодування можна визначити як процес подання інформації у вигляді деякої послідовності символів (кодових комбінацій). При цьому таку послідовність, у свою чергу, можна подати (перекодувати) у вигляді сукупностей фізичних сигналів тієї чи іншої природи — акустичних, оптичних, електричних тощо.

Наведемо приклад природного кодування. Нехай ви спостерігаєте деякий пейзаж. До вашого ока надходить інформація про це у вигляді світлових сигналів (фотонів). Ці сигнали сітківкою ока перекодуються в інші сигнали, що по нейронних ланцюгах надходять до головного мозку. Там ці сигнали перекодовуються в образи, які далі перекодовуються в певні відчуття.

Проте якщо потрібно цю інформацію зафіксувати на папері, її доводиться перекодовувати у вигляді букв та їх поєднань. А щоб цю інформацію повідомити комусь по телефону, її необхідно ще перекодувати у звукові коливання. Потім телефон ще раз закодує звукові коливання в електричні імпульси, які по телефонних лініях (каналах зв’язку) надійдуть на приймальний пристрій адресата, де відбудеться декодування електричних імпульсів у звукові коливання. Нарешті, ці коливання надійдуть адресатові (до його вуха), де він їх декодує в образи, або в текст.

Наведемо більш строге визначення кодування. Нехай дано довільну множину А, яку потрібно відобразити в іншу множину В. У цій множині В є скінченна кількість символів (знаків), що називається алфавітом. Наприклад, в абетці Морзе три символи (крапка, тире і прогалина), в англійській мові — 26 букв плюс прогалина і т. ін.

Кількість різних символів (букв), що входять до алфавіту, називається обсягом алфавіту. У цій множині В за певними правилами можна будувати послідовності символів, що називаються словами.

Кодуванням називається відображення довільної множини А у множину скінчених послідовностей (слів), утворених за допомогою деякого алфавіту множини В, а декодуванням — обернене відображення.

Кодом називається сукупність знаків (символів) алфавіту В і слів, складених із них за певними правилами і призначених для однозначного відображення множини А у множину В.

До будь-якої системи кодування висуваються такі основні вимоги:

1) взаємна однозначність перетворень відображуваної множини А у множину В, що її відображує в результаті кодування та оберненого перетворення (декодування) — необхідна умова відсутності помилок в інтерпретації вихідної інформації;

2) економічність кодування, забезпечується, насамперед, мінімі­зацією середньої довжини комбінацій, а отже, і довжини інфор­маційних текстів, завдяки чому заощаджується не лише час передавання тексту, а й носії інформації;

3) збоєстійкість, тобто можливість виявлення та виправлення помилок у кодових комбінаціях під впливом тих чи інших перешкод та збоїв.

Зауважимо, що друга і третя вимоги взаємно суперечливі, оскіль­ки підвищення збоєстійкості кодів досягається збільшенням дов-
жини слів, через що знижується економічність систем кодування.

У техніці зв’язку й обробки інформації розроблено багато різних способів кодування, що забезпечують більш-менш вдалий компроміс у виконанні цих вимог у різних кібернетичних системах.

Людське мислення у процесі переробки інформації являє собою своєрідний канал зв’язку із шумами, від пропускної здатності якого багато в чому залежить дієвість та ефективність управлінських рішень.

Тоді, коли людина встигає вчасно переробити необхідну для ухвалення рішення інформацію, тобто її канал зв’язку має достатню пропускну здатність і стійкість до шумів, можна очікувати прийняття найбільш ефективних рішень. Якщо терміни переробки та проходження інформації через канал зв’язку (свідомість людини) та час, необхідний для прийняття рішення, не збігаються, то рішення приймається або із запізненням, або в умовах неповної переробки інформації. І перше і друге негативно позначається на функціонуванні соціально-економічних систем.

Поняття про цифровий код. Розглянемо питання про вибір цифрового алфавіту для кодування величин, тобто про вибір системи числення.

У будь-якій позиційній системі числення деяке число N визначається виразом

,

де а — основа системи числення (обсяг цифрового алфавіту); n — кількість розрядів у числі, i — порядковий номер розряду; ki — коефіцієнт, що може набувати а різних значень ki = 0, 1, 2, …, (а – 1).

При цьому запис числа N у системі з основою а здійснюється у вигляді

Ni = kn, kn–1, kn-2, …, k2, k1.

Наприклад:

27(10) = 24 + 23 + 21 + 20  27(2) = 11011 =
= k525–1+k424–1+k323–1+k222–1+k121–1.

Зі зменшенням основи а, тобто спрощенням алфавіту відбувається зміна його кодової комбінації.

Коли йдеться про передавання та електронну обробку інформації, найзручнішою є двійкова система числення, в якій а = 2 і
ki може набувати лише двох значень: 0 і 1. Обчислювальні машини, як і інші технічні пристрої, призначені для збереження і переробки інформації, закодованої в двійковій системі числення.

3.4. Загальне уявлення про надмірність інформації

Розгляд питання про надмірність інформації доцільно почати з деяких загальних міркувань, що стосуються структури природної мови. Наприклад, російський алфавіт містить 32 букви. Яку кількість слів різної довжини можна було б скласти, якщо кожне нове сполучення букв означало б і нове слово, і нове поняття. Ця задача комбінаторики зводиться до визначення кількості N можливих різ­них розміщень з повтореннями з а елементів. Відомо, що N = аn.

У розглядуваному випадку N — можлива кількість різних слів, а = 32, n — довжина слів, тобто кількість букв у слові.

Отже, користуючись 32-буквеним алфавітом, можна скласти:

N1 = 321 = 32 однобуквених слова;

N2 = 322 = 1024 двобуквених слів (наприклад аб, ба, КП, ЛП, …);

N3 = 323 = 32768 трибуквених слів (вол, нал, лал, лаа, …);

N4 = 324 > 106 чотирибуквених слів (сіно, лена, ааба, баба, …);

N5 = 325 > 30 ´106 п’ятибуквених слів;

N6 = 326 > 109 шестибуквених слів.

Загальна кількість слів, що містяться в орфографічних довідниках, двомовних словниках, як правило, не перевищує кількох десятків тисяч — ста тисяч слів.

Отже, користуючись 32-буквеним алфавітом, можна побудувати деяку гіпотетичну мову з 32 768 трибуквеними словами, такими як «ааа», «баа», «ббб» і т. д. Ця мова за кількістю слів цілком може задовольнити потреби повсякденного спілкування. А мова, алфавіт якої складається з чотирьох букв, містила б понад мільйон слів, тобто значно більше, ніж взагалі існує в українській чи будь-якій іншій мові.

Тим часом як в російській, так і в українській мові є слова зав­довжки у 18 букв (наприклад, «малокваліфікований»), а середня довжина слова наближається до шести букв.

Таким чином, застосовуючи штучну мову з трибуквеними словами, можна приблизно вдвічі скоротити обсяг книг, тривалість лекцій, телефонних розмов, службового перепису тощо. Однак побудова і використання такої мови практично нездійсненна з кількох причин.

По-перше, будь-яка жива мова є продуктом історії, історично сформованих категорій, що дуже непохитно зберігає свою особливу структуру, лексику, граматику. Водночас мова — динамічне явище, яке постійно розвивається. Тому більшість спроб упровадити навіть такі легкі для вивчення і логічно побудовані штучні мови, як есперанто, були невдалими.

По-друге, слова штучної мови є незручними для мовлення та важкими для запам’ятовування.

По-третє, така мова була б малонадійним засобом спілкування. Справді, будь-яка помилка, перекручування, погано розчутий звук міг би привести до зміни семантичного значення слова. Проте щодо більшості слів будь-якої природної мови, то перекручування чи помилка в букві, як правило, не заважає розпізнати зміст самого слова. Надійність розпізнавання слів досягається за рахунок їхньої зайвої довжини.

У будь-якій природній мові, таким чином, спостерігається надмірність — властивість, що характеризує можливість подання тієї самої інформації, тих самих повідомлень у більш економічній формі, тобто коротшими кодами. Як уже зазначалося, надмірність невигідна, оскільки вона призводить до подовження повідомлень.

Усе щойно сказане стосується і так званої інформаційної надмірності (чи надмірності кодування), що полягає у використанні слів, кодів, які хоча й містять зайві елементи (символи) з погляду економічності, проте забезпечують надійність повідомлень.

Поряд з інформаційною надмірністю у природних (біологічних) і штучних (технічних) кібернетичних системах для підвищення надійності використовуються й інші види надмірності: структурна, часова, функціональна.

Структурна надмірність полягає в дублюванні чи багаторазовому резервуванні обладнання, тобто тих чи інших органів (у живому організмі) чи деталей машини, агрегатів. Прикладами структурної надмірності в живих організмах може служити наявність у ссавців двох нирок, двох очей, а також великої кількості нервових волокон, що функціонують паралельно.

Часова надмірність являє собою сукупність методів підвищення надійності систем за рахунок збільшення часу розв’язання тих чи інших задач передавання та обробки інформації (наприклад, повторне передавання тієї самої інформації; повторне виконання обчислень в одній і тій самій задачі).

Функціональна надмірність — це сукупність заходів, спрямованих на забезпечення роботоздатності системи в разі виходу деяких її параметрів (наприклад, напруги, температури, тиску і т. ін.) за межі допустимих, які передбачено умовами нормального функціонування.

Одним із найефективніших засобів підвищення функціональної надійності є введення в систему від’ємних зворотних зв’язків. Скажімо, функціональна надійність живих організмів досягається, передусім, за рахунок дії комплексних механізмів, які реалізовуються за допомогою складної системи зворотних зв’язків.

У технічних, виробничих системах функціональна надмірність здійснюється за рахунок керування в контурах негативних зворот­них зв’язків, а також різних аварійних систем (аварійна система
гасіння пожежі, аварійна система випуску шасі на літаку і т. ін.).

3.5. Економічна інформація та її властивості

Як правило, економічною інформацією вважають фінансово-господарську документацію та показники, що містяться в ній. Але економічна інформація може бути усвідомлена, проаналізована та раціонально використана тільки під час вивчення економічних систем, процесів управління в них та конкретних задач, що розв’я­зуються в системах управління. Тому в загальному випадку під економічною інформацією можна розуміти інформацію, що виникає у процесі підготовки й здійснення виробничо-господарської діяльності та використовується для управління цією діяльністю.

Отже, економічна інформація — це сукупність повідомлень, зміст яких необхідний на різних рівнях планування та управління економічними об’єктами. Із цього погляду під економічною інформацією розуміють [10]:  знання спостерігача про економічний об’єкт; якісні та кількісні характеристики компонентів економічної системи (ЕС);  сукупність взаємозв’язків між компонентами ЕС;  відомості, що зменшують невизначеність ситуації в ЕС для спостерігача з погляду розв’язання певної задачі управління;  нематеріальні складові системи — знання, навички, методи, точніше інформаційні схеми (або інформаційні підсистеми) економічної системи;  повідомлення, що циркулюють в економічній системі, якими вона обмінюється із середовищем та з іншими економічними системами;  деякі загальновизнані знання, відомості, правила та звичаї, якими керуються люди й колективи у своїй виробничо-економічній діяльності. Вони існують у вигляді актів державно-економічного законодавства, правових норм господарської діяльності, «контрольних цифр» і показників планування тощо.

Прикладом економічної інформації на рівні підприємств можуть бути, зокрема, технічні характеристики засобів виробництва; опис технологій та умов виробництва; відомості про кадровий склад; відомості про наявні та потрібні ресурси; нормативи, планові завдання; показники, що характеризують ефективність економічної діяльності; відомості стосовно ринкової кон’юнктури тощо.

Для правильного визначення цілей та ефективних методів діяль­ності необхідно мати відомості, з одного боку, про зовнішнє середовище (зовнішня інформація), а з другого — про внутрішній стан та функціонування системи (внутрішня інформація).

Для вивчення, ідентифікації та аналізу зовнішнього і внутрішнього середовища застосовують вхідну інформацію, а вихідна інформація є засобом впливу на це середовище або пристосування до нього ЕС. Діяльність ЕС, її реакція на зміну зовнішніх і внутрішніх обставин ґрунтується на аналізі, обробці та синтезі інформації про зміни зовнішніх і внутрішніх умов.

Чинне законодавство, урядові заходи, накази, розпорядження і інструкції вищих органів управління. Ця інформація має особ­ливо важливе значення під час розробки стратегічних і тактичних планів розвитку і функціонування об’єкта управління.

Демографічні і соціальні тенденції розвитку суспільства. Ця інформація важлива для планування обсягів виробництва. Види товарів та послуг значною мірою залежать від загальної чисельності, структури, розміщення та купівельної спроможності населення.

Економічні тенденції розвитку, до яких належать обсяг та тенденції зміни ВВП, грошової маси, рівень безробіття, валютний курс, рівень цін, продуктивність праці за галузями та багато інших, що можуть виявитися корисними під час прийняття планових рішень стосовно роботи конкретного об’єкта.

Рівень та тенденції розвитку технологій за галузями. Ця інформація може вплинути на планування виробництва нових видів продукції, розробку нових технологічних процесів.

Чинники виробництва. Ця інформація характеризує джерела, витрати, розміщення, наявність, доступність і продуктивність основних елементів виробництва (трудові ресурси, виробничі матеріали, обладнання тощо).

Інформація про попит, якість, надійність та інші характеристики продукції, що випускається.

Інформація про стан справ у постачальників, споживачів та конкурентів.

Повне, вичерпне задоволення потреб в інформації про зовнішнє середовище, мабуть, неможливе. Проте ці потреби потрібно враховувати, незважаючи на незначні можливості окремих систем щодо контролю за зовнішнім середовищем, а також на практичну відсутність можливості побудувати таку автоматизовану інформаційну систему, яка подавала б цю інформацію. Проблема пошуку інформації про навколишнє середовище дуже складна, зокрема тому, що часто дуже важко на етапі пошуку визначити, стосується вона задачі, що розв’язується, чи ні, а також чи буде її використано.

Можна виокремити кілька способів пошуку інформації. Насамперед, це пасивне спостереження. Фахівці, що вивчають нав­колишнє середовище, не ставлять перед собою конкретних цілей пошуку, вони лише збирають дані про загальні тенденції, які можуть бути корисними тепер або в майбутньому. У такій діяльності вони вдаються до аналізу електронних та друкованих засобів масової інформації, користуються послугами мережі Інтернет, опра­цьовують спеціалізовані журнали та монографії, проводять бесіди, беруть участь у конференціях, симпозіумах, нарадах тощо.

Ще одним методом пошуку інформації про навколишнє середовище є цільове спостереження (моніторинг) — увага звертається на певну сферу діяльності.

Інформація, що характеризує внутрішній стан системи, має важливе значення для планування та оперативного управління. У цьому разі внутрішня інформація виявляється важливішою, ніж інформація про навколишнє середовище. Внутрішня інформація призначена для ліквідації відхилень між реальною ситуацією та плановими показниками, а також для виявлення сильних і слабких сторін системи.

Внутрішню інформацію можна поділити на виробничу, фінансово-економічну, на інформацію про діяльність різних підсистем у системі, інформацію про використання матеріальних, енергетич­них та кадрових ресурсів у системі, інформацію про систему
управління тощо.

Економічну інформацію класифікують як первинну та похідну. Природно, що для кожної економічної системи будуть свої власні межі між первинною і похідною інформацією. У кожному випадку первинною інформацією буде та, що надійшла до системи зовні, а похідною — перероблена всередині системи.

Що ж стосується найважливіших відмітних особливостей інформації взагалі та економічної інформації зокрема, то до них можна віднести: повноту, яка відбиває її достатність для прийняття управлінських рішень або для створення на базі неї нової інформації;  достовірність (адекватність) — ступінь відповідності інфор­мації реальному стану об’єктивної дійсності;  цінність (корисність), що характеризує, якою мірою вона сприяє досягненню цілей та завдань споживача (наприклад, системи управління); коректність — таке поєднання форми та змісту інформації, за якого забезпечується її однозначне сприйняття всіма споживачами; актуальність — ступінь своєчасності інформації, її відповідності поточному моменту часу, а також її адекватності дійсному стану досліджуваного об’єкта.

Контрольні запитання та завдання

Поясніть, чим, на вашу думку, відрізняються поняття «інформація», «дані», «знання».

Охарактеризуйте основні операції, що виконуються над даними.

Як ви розумієте «надмірність інформації»? Наведіть прик­лади.

Наведіть принципову схему системи зв’язку та поясніть основні етапи проходження інформації по ній.

У чому полягають принципи кодування інформації?

Які основні властивості економічної інформації вам відомі?

4.1. Ентропія як міра ступеня невизначеності

Однією з головних властивостей навколишнього світу та подій, явищ, які в ньому відбуваються, є відсутність повної впевненості щодо їх настання. Це створює невизначеність у плануванні наших дій. Але зрозуміло, що ступінь цієї невизначеності залежно від ситуації випадках буде різною.

У процесі управління економічними системами (наприклад, виробництвом) постійно існує невизначеність щодо стану справ у керованому об’єкті та його дій (поводження) у той чи інший момент. Необхідно знати, як забезпечується виконання встановленої програми, плану дій, які справи з матеріально-технічним, фінансовим, енергетичним, інформаційним забезпеченням. Необхідно також мати вичерпну інформацію щодо стану ринкової кон’юнк­тури, економічної політики державних органів управління, діяльності конкурентів, партнерів, споживачів тощо. Невизначеність виникає і щодо вибору найбільш доцільного рішення з множини можливих (керувальний вплив). Для того щоб усунути цю невизначеність, необхідна інформація.

На практиці важливо вміти чисельно оцінювати ступінь невизначеності. Розглянемо випробування, яке має K рівноможливих результатів. Зрозуміло, що коли K = 1, результат випробувань не є випадковим і жодної невизначеності немає. Зі збільшенням K невизначеність зростає. Отже, числова характеристика невизначеності f(K) має бути f(1) = 0 і зростати зі збільшенням K. Розглянемо два незалежні випробування α і b. Нехай випробування α має m, а випробування b — n результатів. Добуток подій αb матиме mn результатів. Невизначеність випробування αb буде біль­шою і від α, і від b.

Природно припустити, що ступінь невизначеності випробування αb дорівнює сумі невизначеностей, які характеризують випробування α і b. Звідси дістаємо таку умову: f(mn) = f(m) + f(n).

Визначимо вигляд цієї функції. Неважко переконатись, що логарифмічна функція y = log(x) — єдина, яка має наведені властивості:

log 1 = 0;  log x2 > log x1 при x2 > x1;  log(mn) = log m + log n.

Вибір основи системи логарифмів не принциповий, оскільки згідно з формулою logа = logbalogb перехід від однієї основи логарифмів до іншої зводиться до множення на коефіцієнт пропорційності.

У теорії інформації за основу логарифмів беруть число 2, тобто
f(K) = log2(K). Оскільки log22 = 1, то це означає: за одиницю
вимірювання невизначеності взято невизначеність, яка міститься у випробуванні, що має два рівноможливі результати (наприклад, у випробуванні з підкиданням монети).

Така одиниця вимірювання невизначеності називається бітом (bit — binary digit — двійкова цифра).

Розглянемо випробування, що має К рівноймовірних результатів. Тоді таблицю результатів можна подати у вигляді табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Якщо ж результати випробувань мають різні ймовірності (табл. 4.2), то повна невизначеність буде така:

Таблиця 4.2

Цю величину (за аналогією зі статистичною фізикою) називають ентропією.

Властивості ентропії. 1. Н(a) ³ 0 — додатно визначена функція ймовірностей Р(Аi). Справді:

.

2. Н(a) = 0 Þякщо Pj = 1, решта Pі = 0. У цьому випадку невизначеності немає:

, а решта членів .

3. maxH(a) = max[–SP(Ai)logP(Ai)] = logK при P(A1) = … =
   = P(Ak) =, тобто maxH(a) досягається за рівноможливих результатах.

Розглянемо два незалежні випробування (табл. 4.3).

Таблиця 4.3

Означення. Об’єднанням двох систем X і Y із можливими станами x = {x1, …, xn} і y = {y1, …, ym} називають складну систему (X, Y), стан якої (xi, yj) містить усі можливі значення (комбінації) станів xi, yj систем X, Y.

Очевидно, що кількість можливих станів системи (X, Y) буде nm. Нехай Pij — імовірність того, що система (X, Y) перебуватиме у стані (xi, yj): Pij = P[(X = xi), (Y = yi)] (табл. 4.4).

Таблиця 4.4

За означенням маємо:

,   .

Якщо системи X і Y незалежні, то Pij = piqj. Звідси випливає:

Отже, для незалежних систем виконується рівність: H(X, Y) =
= H(X) + H(Y).

Цей висновок можна узагальнити на скінченну кількість систем: у результаті об’єднання незалежних систем їхні ентропії додаються:

Умовна ентропія. Нехай маємо дві системи X і Y, які в загаль­ному випадку залежні. Припустимо, що система X набула зна­чення xi. Позначимо через P(yj/xi) умовну ймовірність того, що система Y набуде стану yj за умови, що система X перебуває у стані xi:

Визначимо умовну ентропію системи Y за умови, що система Х перебуває у стані хi:

           (4.1)

де МХi — оператор умовного математичного сподівання величини, що міститься в дужках, за умови Х ~ xi.

Умовна ентропія залежить від того стану xi, якого набула система Х; для одних станів вона більша, для інших менша. Визначимо середню або повну ентропію системи Y, ураховуючи, що система може набувати будь-яких значень. Для цього кожну умовну ентропію (4.1) помножимо на ймовірність відповідного стану Рi, а далі всі такі добутки додамо.

Отже, позначимо повну умовну ентропію через Н(Y / Х). Тоді величина

           (4.2)

за означенням буде повною умовною ентропією.

Скориставшись формулою (3.1) та взявши до уваги, що piH ´
´ (Y / xi) = Pij, можна одержати:

        .         (4.3)

Величина Н(Y / Х) характеризує ступінь невизначеності системи Y, що залишається після того, як стан системи Х цілком визначився. Її називають повною умовною ентропією системи Y відносно Х.

Для умовної ентропії справджується таке твердження: якщо дві системи Х та Y поєднуються в одну, то ентропія об’єднаної системи буде дорівнювати сумі ентропії однієї з них та умовної ентропії іншої щодо першої:

     Н(Х, Y) = Н(Х) + Н(Y / Х); Н(Х, Y) = Н(Y) + Н(X / Y).            (4.4)

У частинному випадку, коли системи Х і Y незалежні, тобто
Н(Y / Х) = Н(Y), маємо рівність:

Н(Х, Y) = Н(Х) + Н(Y),

а в загальному випадку виконується нерівність:

        Н(Х, Y) £ Н(Х) + Н(Y).  (4.5)

Співвідношення (4.5) випливає з того, що повна умовна ен-
тропія не може перевищувати безумовної: Н(Y / Х) £ Н(Y).

Розглянемо інший крайній випадок, коли станом однієї із систем Х цілком визначається стан іншої Y. Тоді Н(Y / Х) = 0, а отже, маємо

Н(Х, Y) = Н(Х) = Н(Y).

Інтуїтивно зрозуміло, що ступінь невизначеності системи не може зрости через те, що стан якоїсь іншої системи став відомим. Зі співвідношення (4.5) випливає, що невизначеність системи, її ентропія досягає максимуму, коли система незалежна.

4.2. Ентропія та інформація

Щойно ентропію було розглянуто як міру невизначеності системи. Зрозуміло, що з появою нових відомостей невизначеність може зменшитися. Чим більший обсяг зазначених відомостей, тим більше буде інформації про систему і тим менш невизначеним буде її стан. Тому кількість інформації можна вимірювати зменшенням ентропії тієї системи, для уточнення стану якої призначено відомості.

Розглянемо деяку систему Х, щодо якої виконуються спостереження, і оцінимо інформацію, здобуту в результаті того, що стан системи став цілком відомим. До отримання відомостей ентропія системи була Н(Х), а коли їх було отримано, стан системи цілком визначився, тобто ентропія стала дорівнювати нулю. Нехай Ix — інформація, здобута в результаті з’ясування стану системи Х. Вона дорівнює зменшенню ентропії:

        ,        (4.6)

тобто кількість здобуваної інформації в разі повного з’ясування стану деякої фізичної системи дорівнює ентропії цієї системи. Формулу (4.6) можна записати докладніше:

        ,   (4.7)

де Pi = P(X = xi). Співвідношення (4.7) означає, що інформація Ix є усередненим (за всіма станами системи) значенням логарифма ймовірності стану (зі знаком «мінус»). Кожний окремий доданок
(–logPi) можна розглядати як часткову інформацію від окремого повідомлення, яке полягає в тому, що система Х перебуває у стані хi. Позначивши цю інформацію через , дістанемо:

        .        (4.8)

Тоді інформація Ix буде середньою (повною) інформацією, що її було отримано від усіх можливих окремих повідомлень:

        ,  (4.9)

де Х —кожний (випадковий) стан системи Х.

Оскільки 0 £ Pi £ 1, то як часткова Ix, так і повна Ix невід’ємні. Якщо всі можливі стани рівноможливі (P1 = P2 = … = Pn = 1/n), то

,

Ми розглядали інформацію про стан деякої системи Х, отриману за допомогою безпосереднього її спостереження. На практиці система Х найчастіше буває недоступна безпосередньому спостереженню, і стан її з’ясовується за допомогою деякої системи Y, певним чином пов’язаної з нею. Наприклад, замість безпосереднього спостереження за літаком ведеться спостереження за екраном локатора і т. ін.

Розбіжності між системою Х, яка нас безпосередньо цікавить, і спостережуваною системою Y можуть бути двох типів.

1. Розходження за рахунок того, що система Y «грубіша», менш різноманітна, є гомоморфним образом Х, тому деякі стани Х не відображуються в Y.
2. Розбіжності за рахунок помилок: неточностей вимірювання параметрів системи Х і помилок у передаванні повідомлень.

У разі, коли зазначені системи Х та Y різні, постає запитання: яку кількість інформації про систему Х дасть спостереження над системою Y?

Природно визначити цю інформацію як зменшення ентропії системи Х в результаті отримання відомостей про стан системи Y:

        . (4.10)

Справді, доти, доки відомостей про систему Y не було, ентропія системи Х становила Н(Х). Після отримання відомостей «залишкова» ентропія стала Н(Х/Y). Отож знищена відомостями ентропія і є інформація ІY®X.

Величину ІY®X називають повною, або середньою, інформацією про систему Х, що міститься в системі Y.

Можна довести, що ІY®X = ІX®Y. Позначимо через ІX«Y =
= ІX®Y = ІY®X. Інформацію ІX«Y називають повною взаємною інформацією, що міститься в системах Х та Y.

Якщо системи незалежні, то Н(Х / Y) = Н(Х) і ІX«Y = 0, тобто повна взаємна інформація, що міститься в незалежних системах, дорівнює нулю. Це природно, оскільки неможливо дістати відомості про систему, спостерігаючи замість неї іншу, з нею не пов’язану.

Розглянемо випадок, коли стан системи Х цілком визначає стан системи Y. Тоді Н(Х / Y) = 0 і, навпаки, Н(Y / Х) = 0, тобто системи еквіваленті:

.          (4.11)

Якщо між системами Х та Y існує зв’язок, причому Х — більш різноманітна, ніж Y, причому Н(Х / Y) = 0, тоді

ІX«Y = Н(Y) – Н(Y / Х) = Н(Y),

тобто повна взаємна інформація ІX«Y, що міститься в системах, одна з яких є підлеглою, дорівнює ентропії підлеглої системи.

Виведемо формулу для інформації. З огляду на те, що

Н(Y / Х) = Н(Х / Y) – Н(Y),

дістанемо:

        ІX«Y = Н(Х) – Н(Х / Y) = Н(Х) + Н(Y) – Н(Х, Y).     (4.12)

Отже, повна взаємна інформація, що міститься у двох системах, дорівнює сумі ентропії обох систем, що становлять систему, за винятком ентропії системи, утвореної перерізом даних систем.

Графічно це можна зобразити так, як показано на рис. 4.1.

Рис. 4.1. До визначення повної взаємної інформації

Звідси, можемо записати:

,

де Pij = P(X = xi; Y = yj),  pi = P(X = xi) rj = P(Y = yj).

4.3. Принцип необхідної різноманітності Ешбі

Розглянемо три системи X, R, Y. Вони деяким способом по­в’язані між собою (рис. 4.2). Нехай різноманітність цих систем буде відповідно

Х = {x1, x2, …, xn}, Y = {y1, y2, …, yn}, R = {r1, r2, …, rn}.

Ця різноманітність є невизначеністю щодо стану, в якому перебуває система. Таку невизначеність можна схарактеризувати ентропією: H(X), H(R), H(Y). Введемо також умовні ентропії H(X / R), H(Y / R).

Розглянемо тепер дві системи Х і Y. Припустимо, що різноманітність системи Y менша за різноманітність Х, тобто система Y є гомоморфним образом Х. Постає запитання: як можна зменшити різноманітність системи Х, або як можна зменшити її невизначеність, тобто ентропію Н(Х)?

Нехай система R цілком визначена. Тоді, оскільки невизначеність системи Х більша, ніж системи Y, маємо нерівність

Н(X / R) ³ H(Y / R).       (4.13)

За будь-яких причинних чи інших взаємозв’язків між R і Y дістаємо:

.         (4.14)

Згідно з (3.13), можемо записати

.        (4.15)

Але для будь-яких систем

.   (4.16)

Тому, підставляючи (3.16) у (3.15), дістаємо:

(4.17)

Зі співвідношення (4.17) випливає, що ентропія системи Х має мінімум, і цей мінімум досягається при H(R / Y) = 0, тобто в разі, коли стан системи R цілком визначений і відомий стан системи Y. А це буде тоді, коли R є однозначною функцією від Y (її гомоморфний образ).

Отже, якщо H(R / Y) = 0, то

min H(X) = H(Y) – H(R).            (4.18)

Це і є відомий «принцип необхідної різноманітності» Р. Ешбі, який постулює таке:

Мінімальне значення різноманітності системи Х можна змен­шити тільки за рахунок збільшення різноманітності системи R.

Інакше його можна сформулювати так: тільки різноманітність у системі R може зменшити різноманітність, яка існує в Х, тільки різноманітність може знищити різноманітність.

4.4. Альтернативні підходи до визначення кількості інформації

Статистична теорія інформації пов’язує поняття інформації зі зниженням невизначеності (ентропії) стану об’єкта. Підходи й математичний апарат для кількісного визначення інформації та ентропії, що їх розробили К. Шенон та Н. Вінер, виявилися корисними в технічних застосуваннях (теорії зв’язку) — оптимізації кодування, передавання, зберігання інформації тощо.

Їхні праці з теорії інформації сприяли розумінню того, що не існує абсолютної інформації про об’єкт, визначення інформації залежить від вибраної моделі об’єкта. Оскільки залежно від мети дослідження вибирають різні моделі з різним описом станів об’єкта, то й з’ясування інформації про об’єкт залежить від мети та завдань дослідника. Адже в одних і тих самих даних міститься різна кількість інформації для різних завдань управління.

Однак статистична теорія інформації не набула поширення для задач обробки інформації, призначеної для управління економічними об’єктами. Це пояснюється тим, що її підходи не враховують специфіки економічної інформації (зокрема, відкидаються змістовні взаємозв’язки, ігнорується зміст та корисність інформації для досягнення мети — цінність, доцільність).

Наприклад, кількість інформації на символ є лише усередненою мірою невизначеності появи цього символа. Тому загальна кількість інформації, що міститься в деякому повідомленні (І = –Spilogpi), ніяк не пов’язується зі змістовністю і корисністю цієї інформації для одержувача.

Інформативність повідомлень для одержувача залежить від його сфери інтересів, роду занять, мети дослідження тощо. Отже, необхідно враховувати різні аспекти оцінки кількості інформації: не лише за формально-структурними ознаками, а й за змістом та практичною цінністю для одержувача.

Однією з найбільш важливих властивостей інформації є її корисність. Але бути корисним може тільки те, що має сенс для даної системи. Реальні (зокрема, економічні) системи перебувають у процесі постійного перетворення, причому будь-яке елементар­не перетворення в системі є подією. Кожна подія супроводжується повідомленням, яке є інформаційним еквівалентом події. З огляду на сказане інформація — це повідомлення, яке має сенс для даної системи. Але значення будуть мати тільки ті повідомлення, які обмежують різноманітність поводження досліджуваної системи в напрямку її пристосування до середовища.

Наведемо деякі інші міркування та підходи до визначення кіль­кості інформації.

Семантичний підхід. Один із методів обчислення кількості семантичної інформації полягає в тому, щоб визначати її через так звану логічну імовірність, що являє собою ступінь підтвердження тієї чи іншої гіпотези. При цьому кількість семантичної інформації, що міститься в повідомленні, зростає зі зменшенням ступеня підтвердження гіпотези. Отже, якщо логічна ймовірність дорівнює одиниці, тобто якщо вся гіпотеза побудована на відомих даних та цілком підтверджується повідомленням, то таке повідомлення не приносить адресатові нічого нового і семантична інформація дорівнює нулю. (Наприклад, повідомлення «Волга впадає в Каспійське море».) І навпаки, зі зменшенням ступеня підтвердження гіпотези (чи, інакше кажучи, апріорного знання) кількість семантичної інформації, що її доставляє повідомлення, зростає.

З описаним підходом до визначення інформаційної змістовності повідомлень стикається запропонована Ю. Шрейдером ідея, що ґрунтується на врахуванні «запису знань» (тезауруса) одержувача.

Тезаурусом (грец. «скарб») називають словник, в якому наведено не тільки значення окремих слів, а й змістовні зв’язки між ними (наприклад, тлумачний словник Даля). У розглядуваному контексті під тезаурусом розуміють деякий узагальнений довідник, що визначає рівень знань одержувача про повідомлення. При цьому повідомлення, що містять нову для одержувача інформацію, змінюють, збагачують його тезаурус.

Якщо повідомлення не вносить нічого нового в тезаурус одер­жувача, то природно вважати, що змістовна семантична інформація дорівнює нулю. Якщо одне з двох повідомлень змінює тезаурус незначно, а друге вносить до нього істотні зміни, то природно вважати, що друге повідомлення є змістовнішим, несе в собі значно більший обсяг семантичної інформації. При цьому під зміною тезауруса слід розуміти не тільки появу нових понять, а й встановлення нових зв’язків між ними, ліквідацію застарілих понять чи зв’язків тощо.

Прагматичний підхід. Визначаючи інформацію, ми зазначали, що однією з властивостей інформації є використання її у процесах управління. А коли інформація використовується для управління, то її, природно, належить оцінювати з позицій корисності, цінності, доцільності для досягнення поставленої мети управління.

Тому кожне одержуване ланками управління повідомлення важливо оцінювати не з погляду пізнавальних характеристик, а з прагматичного, тобто з боку корисності чи цінності для виконання функцій управління.

Виходячи з таких міркувань, А. Харкевич запропонував міру цінності інформації Iц визначати як зміну ймовірності досягнення мети в разі отримання цієї інформації:

,

де р0 — початкова (до отримання відомостей) імовірність досягнення мети;

р1 — імовірність досягнення мети після отримання інформації.

При цьому можливі три різні випадки:

1. Отримана інформація не змінює ймовірності, тобто p1 > pÞ
   Þ Іц = 0. Таку інформацію називають порожньою.
2. Якщо імовірність досягнення мети збільшується: p1 > p0Þ
   Þ Іц > 0, то прагматична інформація зросла.
3. Якщо ймовірність зменшилася: p1 < 0Þ Iц < 0, це означає, що отримана інформація є негативною, тобто дезінформацією.

Зауважимо, що прагматичні та семантичні оцінки важко розмежувати, а в деяких випадках вони збігаються.

Контрольні запитання та завдання

Дайте визначення терміна «ентропія».

Доведіть, що максимальна ентропія досягається при рівноймовірних результатах випробувань.

Як пов’язані між собою ентропія та інформація з погляду статистичної теорії інформації?

Що означає «умовна ентропія»? Сформулюйте її властивості.

Сформулюйте принцип необхідної різноманітності Ешбі.

Охарактеризуйте підходи до визначення кількості інформації.

5.1. Загальна характеристика сучасних напрямків розвитку ІСТ

Одним із найважливіших практичних наслідків розвитку кібернетики можна вважати те, що вона стала теоретичним фундаментом для створення комп’ютерної техніки та сучасних ІСТ, які принципово змінили підходи до процесу обробки інформації та управління практично в усіх галузях людської діяльності. ІСТ настільки інтегровані у процеси обробки інформації та управління в економіці, що стали невід’ємною складовою економічної кібернетики, значно збагативши її арсенал.

У загальному випадку інформаційна технологія — це сукупність методів і способів нагромадження, оброблення, зберігання, передавання, подання та використання інформації.

Сучасний стан розвитку ІСТ характеризується стійкою тенден­цією до зростання обсягів та інтенсивності інформаційних потоків майже в усіх галузях знань. При цьому зростання має приблизно експоненціальний характер. Діяльність будь-якої економічної системи, зокрема й підприємства (комерційного, виробничого, наукового і т. ін.) супроводжується нагромадженням, зберіганням та обробленням величезних масивів інформації. Тому без засобів продуктивної переробки потоків «сирих», первинних даних ефективне управління економічними системами практично неможливе.

Можна виокремити такі сучасні вимоги до даних і їх обробки:

дані мають бути значного обсягу; характеризуватися різнорідністю (кількісною, якісною, текстовою);  результати обробки мають бути конкретними й зрозумілими;  інструменти для обробки первинних даних — простими в користуванні.

Усе це зумовило необхідність автоматизації аналізу даних ком­п’ютерною їх обробкою із застосуванням методів прикладної статистики та економетрії.

Нині існують численні інформаційні технології, спрямовані на полегшення економічної діяльності людини. Наявні системи поділяються на певні типи, передусім за безпосереднім призначенням та підходами, що використовуються в них. У галузі ІСТ умовно можна виокремити три напрямки розвитку, які доповнюють один одного, визначаючи тип ІС. Системи першого типу зорієнтовано на операційну обробку даних — системи обробки даних (СОД). До них належать спеціалізовані пакети програм для статистичного аналізу, математичні пакети тощо. Другий тип ІС зорієнтований на задачі аналізу даних та управління — системи підтримки та прийняття рішень (СППР).

До третього, одного з найпоширеніших типів ІС, застосовуваних в управлінні, належать такі:

АСУ — автоматизовані системи управління;

СППР — системи підтримки прийняття рішення;

ЕС — експертні системи.

Автоматизовані системи управління. АСУ мають широкий спектр застосування: від автоматизації базових функцій підприємства до автоматизації прийняття управлінських рішень. Розвиток цих систем відбувався від найпростіших систем обробки інформації до сучасних інтегрованих інформаційних комплексів. АСУ можна поділити на вузькоспеціальні та інтегровані.

Перші підтримують деякі спеціалізовані напрямки діяльності (наприклад, бухоблік, фінанси, кадри, маркетинг) та частково інших базових функціональних галузей. Інтегровані системи забезпечують повну підтримку більшості функціональних сфер діяльності підприємства, пропонуючи широкий перелік спеціалізованих рішень як для різноманітних видів діяльності, так і для всіляких аспектів управління (стратегічне планування, управління спеціальними видами активів і т. ін.).

Системи підтримки прийняття рішень. СППР призначені допомагати робити обґрунтований вибір із певного переліку альтернатив. Перш ніж набула поширення клієнт-серверна архітектура, застосовували два типи СППР: ІС для керівництва (управлінські) — Executive Information System (EIS), та системи підтримки рішень — Decision Support System (DSS). EIS створювались на великих ЕОМ і призначалися для керівництва верхнього рівня. DSS виконувались на робочих станціях і призначалися для менеджерів середньої ланки. Але останнім часом завдяки делегуванню повноважень із прийняття рішень середній та нижній ланці відмінності між цими типами СППР поступово зникають. У загальному випадку СППР складаються із СУБД, системи управління банком моделей та інтерфейсу користувача.

Експертні системи. ЕС — це ІС, що моделюють дії людини-експерта під час розв’язання задач у певній предметній галузі на основі логічного аналізу накопичених знань, що зберігаються в базі знань (БЗ) Мета досліджень з ЕС полягає передусім у розробці програм, які у процесі розв’язання задач, що виникають у слабо структурованій і важко формалізованій предметній галузі та є складними для експерта-людини, дають результати, не гірші за якістю та ефективністю рішенням, ніж експерти.

Експертні системи та системи штучного інтелекту відрізняються від систем обробки даних тим, що в них використовується символьний (а не числовий) спосіб подання інформації, символьний вивід та евристичний пошук розв’язку (а не виконання відомого алгоритму). Технологія ЕС нині використовується для розв’язання різних типів задач (інтерпретація, прогноз, діагностика, планування, конструювання, контроль, інструктування, управління) у найрізноманітніших проблемних галузях, таких як фінанси, нафтова та газова промисловість, гірнича справа, хімія, освіта, телекомунікації та зв’язок тощо. Нині спостерігається тенденція до дедалі більшої інтеграції ЕС та СППР, тому поступово ці типи ІС зближуються.

5.2. Технології побудови ІС

Сучасні концепції створення ІС ґрунтуються на таких підходах.

Об’єктно-орієнтований підхід дає змогу подати задачу розробки ІС як задачу побудови ієрархії об’єктів, що взаємодіють. При цьому об’єкти кожного рівня розглядаються як представники певних класів, що характеризуються наборами властивостей і методів. Функціонування ІС в об’єктно-орієнтованій методології описується за допомогою низки спеціалізованих діаграм. Однією з переваг такого підходу є наочність його засобів (графічних) та можливість їх практичного застосування за допомогою уніфікованої мови моделювання UML.

UML (Unified modeling language) — уніфікована графічна мова моделювання призначена для візуалізації, специфікації, конструювання та документування систем, в яких провідну роль відіграє програмне забезпечення. За допомогою UML можна розробити докладний план створюваної системи, що відбиває не тільки її концептуальні елементи, такі як системні функції та бізнес-про­цеси, а й конкретні особливості реалізації, зокрема класи, записані спеціальними мовами програмування, схеми баз даних, а також програмні компоненти багаторазового використання.

CASE (Computer Aided System Engeneering) — технологія ком­п’ютерного проектування ІС, призначена для розробки складних ІС у цілому. Під CASE-технологією розуміють програмні засоби, що підтримують процеси створення та супроводження ІС (зокрема, аналіз і формулювання вимог), проектування прикладного програмного забезпечення (додатків) і баз даних, генерування коду, тестування, документування, конфігураційне керування, управління проектом та інші процеси.

CASE-технологія містить набір інструментальних засобів, що дають змогу в наочній формі моделювати будь-яку предметну область, аналізувати побудовану модель на всіх етапах розробки й супроводження ІС і створювати прикладні програми згідно з інформаційними потребами користувачів. Більшість наявних CASE-засобів ґрунтуються на методології структурного й об’єктно-орієн­тованого аналізу та проектування, що передбачає використання специфікації у вигляді діаграм або текстів для описування зовнішніх вимог, зв’язків між моделями системи, динаміки поводження системи та архітектури програмних засобів.

SADT (Structure Analyse and Design Technic) — технологія структурного моделювання, призначена для побудови функціональної моделі об’єкта певної предметної області. Головна мета SADT-технології — описувати складні об’єкти як ієрархічні, багаторівневі модульні системи за допомогою невеликого набору типових елементів. До найістотніших властивостей SADT-техно­логії належать: принцип побудови моделі згори вниз; реалізація ієрархічного, багаторівневого моделювання; можливість одночасно зі структуруванням проблеми розробляти структуру баз даних.

Сучасні концепції побудови СППР спрямовані на розв’язання суперечності між відсутністю корисної інформації, з одного боку, та наявністю величезних обсягів інформації — з другого. До найвідоміших підходів, спрямованих на підвищення ефективності зберігання та використання інформації, можна віднести:

Data Warehouse — концепцію побудови сховища даних;

Data Mart — вітрини даних;

OLAP (On-Line Analitical Processing) — багатовимірний опе­ративний аналіз даних;

Data Mining (DM) — інтелектуальний аналіз даних.

5.3. Методи інтелектуального аналізу даних

Технології аналізу даних, що базуються на застосуванні класичних статистичних підходів, мають низку недоліків. Відповідні методи ґрунтуються на використанні усереднених показників, на підставі яких важко з’ясувати справжній стан справ у досліджуваній сфері (наприклад, середня зарплата по країні не відбиває її розміру у великих містах та в селах). Методи математичної статистики виявилися корисними насамперед для перевірки заздалегідь сформульованих гіпотез та «грубого» розвідницького аналізу, що становить основу оперативної аналітичної обробки даних (OLAP).

Наприклад, дослідження спеціалістів Гарвардського інституту показують, що на основі наявної інформації за допомогою стандартних статистичних методів не можна було передбачити великої депресії кінця 1920-х років.

Окрім того, стандартні статистичні методи відкидають (нехтують) нетипові спостереження — так звані піки та сплески. Проте окремі нетипові значення можуть становити самостійний інтерес для дослідження, характеризуючи деякі виняткові, але важливі явища. Навіть сама ідентифікація цих спостережень, не говорячи про їх подальший аналіз і докладний розгляд, може бути корисною для розуміння сутності досліджуваних об’єктів чи явищ. Як показують сучасні дослідження, саме такі події можуть стати вирішальними щодо майбутнього поводження та розвитку складних систем.

Ці недоліки статистичних методів спонукали до розвитку нових методів дослідження складних систем, що базуються на нелінійній динаміці, теорії катастроф, фрактальній геометрії тощо (див. розд. 5).

Водночас постала нагальна потреба в такій технології, яка автоматично видобувала б із даних нові нетривіальні знання у формі моделей, залежностей, законів тощо, гарантуючи при цьому їхню статистичну значущість. Новітні підходи, спрямовані на розв’язання цих проблем, дістали назву технологій інтелектуаль­ного аналізу даних.

В основу цих технологій покладено концепцію шаблонів (патернів), що відбивають певні фрагменти багатоаспектних зв’язків у множині даних, характеризуючи закономірності, притаманні під­вибіркам даних, які можна компактно подати у зрозумілій людині формі. Шаблони відшукують методами, що виходять за межі апрі­орних припущень стосовно структури вибірки та вигляду роз-
поділів значень аналізованих показників. Важлива особливість цієї технології полягає в нетривіальності відшукуваних шаблонів. Це означає, що вони мають відбивати неочевидні, несподівані регулярності у множині даних, складові так званого прихованого знання. Адже сукупність первинних («сирих») даних може містити й глибинні шари знань.

Knowledge Discovery in Databases (дослівно: «виявлення знань у базах даних» — KDD) — аналітичний процес дослідження значних обсягів інформації із залученням засобів автоматизації, що має на меті виявити приховані у множині даних структури, залежності й взаємозв’язки. При цьому передбачається повна чи часткова відсутність апріорних уявлень про характер прихованих структур та залежностей. KDD передбачає, що людина попередньо осмислює задачу й подає неповне (у термінах цільових змінних) її формулювання, перетворює дані до формату придатного для їх автоматизованого аналізу й попередньої обробки, виявляє засобами автоматичного дослідження даних приховані структури й залежності, апробовує виявлені моделі на нових даних, не використовуваних для побудови моделей, та інтерпретує виявлені моделі й результати.

Отже, KDD — це синтетична технологія, що поєднує в собі останні досягнення штучного інтелекту, чисельних математичних методів, статистики й евристичних підходів. Методи KDD особливо стрімко розвиваються протягом останніх 20 років, а раніше задачі комп’ютерного аналізу баз даних виконувалися переважно за допомогою різного роду стандартних статистичних методів.

Data Mining (дослівно: «Розробка, добування даних» — DM) — дослідження «сирих» даних і виявлення в них за допомогою «машини» (алгоритмів, засобів штучного інтелекту) прихованих нетривіальних структур і залежностей, які раніше не були відомі й мають практичну цінність та придатні для того, щоб їх інтерпретувала людина.

Розглянемо відмінності між засобами Data Mining і OLAP. Технологія OLAP спрямована на підтримання процесу прийняття управлінських рішень і використовується з метою пошуку відповіді на запитання: чому деякі речі є такими, якими вони є насправді? При цьому користувач сам формує модель-гіпотезу про дані чи відношення між даними, а далі, застосовуючи серію запитів до бази даних, підтверджує чи відхиляє висунуті гіпотези. Засоби Data Mining відрізняються від засобів OLAP тим, що замість перевірки передбачуваних користувачем взаємозалежностей вони на основі наявних даних самі можуть будувати моделі, які дають змогу кіль­кісно та якісно оцінювати ступінь впливу різних досліджуваних факторів на задану властивість об’єкта. Крім того, засоби DM дають змогу формулювати нові гіпотези про характер досі невідомих, але таких, що реально існують, залежностей між даними.

Засоби OLAP застосовуються на ранніх стадіях процесу KDD, оскільки вони дають змогу краще зрозуміти дані, що, у свою чергу, забезпечує ефективніший результат процесу KDD.

Головна мета технології KDD — побудова моделей і відношень, прихованих у базі даних, тобто таких, які не можна знайти звичайними методами. Варто зазначити, що на комп’ютери перекладаються не лише рутинні операції (скажімо, перевірка статистичної значущості гіпотез), а й операції, що донедавна були аж ніяк не рутинними (вироблення нових гіпотез). KDD дає змогу побачити такі відношення між даними, що залишалися поза увагою дослідників.

Будуючи моделі, ми встановлюємо кількісні зв’язки між характеристиками досліджуваного явища. Щодо призначення можна виокремити моделі двох типів: прогнозні та описові (дескриптивні). Моделі першого типу використовують набори даних із відомими результатами для побудови моделей, що явно прогнозують результати для інших наборів даних, а моделі другого типу описують залежності в наявних даних. Обидва типи моделей використовуються для прийняття управлінських рішень.

Технологія KDD дає змогу не лише підтверджувати (відкидати) емпіричні висновки, а й будувати нові, невідомі раніше моделі. Знайдена модель не зможе здебільшого претендувати на абсолютне знання, але вона надає аналітикові деякі переваги вже завдяки самому факту виявлення альтернативної статистично значущої моделі, а також, можливо, стає приводом для пошуку відповіді на запитання: чи справді існує виявлений взаємозв’язок і чи є він причинним? А це, у свою чергу, стимулює поглиблені дослідження, сприяючи глибшому розумінню досліджуваного явища.

Отже, найважливіша мета застосування технології KDD до дослідження реальних систем — це поліпшення розуміння суті їх функціонування.

Відзначимо, що процес виявлення знань не є цілком автоматизованим — він вимагає участі користувача (експерта, особи що приймає рішення). Користувач має чітко усвідомлювати, що він шукає, ґрунтуючись на власних гіпотезах. Зрештою замість того, щоб підтверджувати наявну гіпотезу, процес пошуку часто сприяє появі ряду нових гіпотез. Усе це позначається терміном «discovery-driven data mining» (DDDM), і терміни Data Mining, Knowledge Discovery у загальному випадку стосуються до технології DDDM.

5.4. Основні етапи та алгоритми інтелектуального аналізу даних

Виокремимо два типи задач, розв’язуваних із різною ефективністю різними методами KDD (хоча, втім, реальні задачі дослідження даних можуть охоплювати обидва типи).

Задачі першого типу полягають у побудові на підставі наявних даних різних моделей, якими можна скористатися з метою прогнозування та ухвалення рішення в майбутньому, за схожої ситуації.

Задачі другого типу характерні тим, що наголос у них робиться на з’ясуванні сутності залежностей у множині даних, а також взаємовпливу, тобто на побудові емпіричних моделей різних систем, які легко може сприймати людина. При цьому не так уже й важливо, щоб система добре передбачала і працювала в майбутньому, а важливо зрозуміти взаємні впливи досліджуваних закономірностей (що і чим визначається в наявному масиві даних). І навіть якщо встановлені закономірності належатимуть до специфічних особливостей саме конкретних досліджуваних даних і більше ніде не траплятимуться, але нам усе одно потрібно їх з’ясувати.

Розглянемо головні етапи (кроки), характерні для будь-якого дослідження даних за допомогою методів KDD і становлять основний цикл пошуку нового знання та його оцінювання (рис. 5.1). Залежно від задачі кількість етапів, а також обсяг виконуваних на кожному з них дій можуть змінюватися, але загалом усі вони необхідні і так чи інакше мають належати процесу інтелектуального аналізу даних.

Перший етап полягає у зведенні даних до форми, придатної для застосування конкретних реалізацій систем KDD. Нехай, скажімо, інформацію подано у вигляді текстів і потрібно побудувати автоматичний рубрикатор, класифікатор якихось анотацій, описів тощо. Вхідна інформація являє собою тексти в електронному вигляді, але практично жодна з наявних систем KDD не здатна працювати безпосередньо з текстами. Щоб працювати з певним текстом, ми маємо з вихідної текстової інформації заздалегідь дістати деякі похідні параметри (наприклад, частоту появи ключових слів, середню довжину речень, параметри, що характеризують сполучуваність тих чи інших слів у реченні тощо), тобто побудувати чіткий набір кількісних або якісних параметрів даного тексту. Ця задача найменш автоматизована в тому сенсі, що систему шуканих параметрів формує людина, хоча значення параметрів можуть обчислюватися автоматично в рамках відповідної технології первинної обробки даних. Вибравши параметри, дані можна подати у вигляді прямокутної таблиці, де кожний рядок характеризує окрему ознаку (стан, властивість) досліджуваного об’єкта, а кожний стовпець — ознаки (стани, властивості) всіх досліджуваних об’єктів. Рядки такої таблиці в теорії KDD, як і в теорії баз даних, називають записами, а стовпці — полями.

Практично всі наявні системи KDD працюють тільки зі щойно описаними прямокутними таблицями.

Здобута прямокутна таблиця — це лише «сировинний» матеріал для застосування методів KDD, і дані, що входять до неї, необхідно передусім обробити. По-перше, таблиця може містити параметри (ознаки об’єктів), що мають однакові значення в якомусь зі стовпців. Коли б досліджувані об’єкти мали тільки такі ознаки, усі вони були б абсолютно ідентичними. Звідси випливає, що відповідні ознаки жодним чином не характеризували б досліджуваних об’єктів, а отже, їх потрібно вилучити з аналізу. Можлива й така ситуація, що деяка категоріальна ознака в усіх її записах має різні значення, через що відповідне поле не придатне для аналізу даних і його також доведеться вилучити. Нарешті може статися так, що полів буде дуже багато, і якщо ми всі їх намагатимемося досліджувати, то надто відчутно збільшиться час розрахунків, оскільки практично для всіх методів KDD характерна сильна (не менш ніж квадратична, а нерідко й експоненціальна) залежність часу розрахунків від кількості параметрів, тоді як залежність часу розрахунків від кількості записів лінійна або близька до неї.

Тому у процесі попередньої обробки даних необхідно, по-перше, розглянути множину всіх ознак, що стосуються шуканої залежності, вилучити з неї ті, які явно не придатні для подальшого дослідження, та виокремити ті, що найімовірніше ввійдуть у шукану залежність. Для цього, як правило, застосовують статистичні методи, що ґрунтуються на застосуванні кореляційного аналізу, лінійних регресій, тобто методи, що дають змогу швидко, хоча й наближено оцінити вплив одного параметра на інші.

Третій етап — безпосереднє застосування методів KDD за різ­ними сценаріями, що містять складні комбінації тих методів, які
допомагають аналізувати дані з різних поглядів. Власне, цей етап дослідження і називають Data Mining (добування даних).

Четвертий етап — верифікація та перевірка результатів, найчастіше здійснювані в такий спосіб. Усі наявні дані, що мають бути проаналізовані, розбивають на дві (як правило, не однакові за розміром) групи. У більшій групі даних за допомогою тих чи інших методів KDD дістають моделі й залежності, а в меншій виконують їх перевірку. Далі за різницею в точності між результатами, здобутими для обох груп, доходять висновку щодо адекватності й статистичної значущості побудованої моделі. Існує багато інших, складніших способів верифікації (перехресна перевірка, бутстреп-аналіз тощо), які дають змогу оцінити значущість побудованих моделей без розбиття даних на дві групи.

Нарешті, на п’ятому етапі знання, що їх здобула людина, автоматично інтерпретуються з метою їх використання для прий-
няття рішень та внесення сформульованих правил і залежностей до баз знань тощо. Цей етап часто передбачає застосування методів, що є проміжними між технологією KDD і технологією експертних систем. Від того, наскільки ефективним він буде, значною мірою залежить успіх розв’язання поставленої задачі.

Цим етапом і закінчується цикл KDD. Остаточне оцінювання вагомості здобутого нового знання виходить за рамки аналізу, автоматизованого чи традиційного, і стає можливим тільки після впровадження на практиці рішення, прийнятого на основі такого знання. Дослідженням практичних результатів, досягнутих за допомогою здобутого засобами KDD нового знання, завершується його оцінювання.

5.5. Огляд алгоритмів та ІС Data Mining

Data Mining — це сукупність багатьох різних методів здобування знань. Вибір методу часто залежить від типу наявних даних і від того, яку інформацію потрібно дістати.

До найпоширеніших методів можна віднести такі:  об’єднання (association; іноді вживають термін affinity, що означає подібність, структурну близькість) — виокремлення структур, що повторюються в часовій послідовності. Цей метод визначає правила, за якими можна встановити, що один набір елементів корелює з іншим. Користуючись ним, аналізують ринковий кошик пакетів продуктів, розробляють каталоги, здійснюють перехресний маркетинг тощо;  аналіз часових рядів (sequence-based analysis, або sequential association) дає змогу відшукувати часові закономірності між даними (трансакціями). Наприклад, можна відповісти на запитання: купівля яких товарів передує купівлі даного виду продукції? Метод застосовується, коли йдеться про аналіз цільових ринків, керування гнучкістю цін або циклом роботи із замовником (Customer Lifecycle Management); кластеризація (clustering) — групування записів, що мають однакові характеристики, наприклад за близькістю значень полів у БД. Використовується для сегментування ринку та замовників. Можуть залучатися статистичні методи або нейромережі. Кластеризація часто розглядається як перший необхідний крок для подальшого аналізу даних;  класифікація (classification) — віднесення запису до одного із заздалегідь визначених класів, наприклад під час оцінюваня ризиків, пов’язаних із видачею кредиту;  оцінювання (estimation);  нечітка логіка (fuzzy logic); статистичні методи, що дають змогу знаходити криву, най­ближче розміщену до набору точок даних; генетичні алгоритми (genetic algorithms); фрактальні перетворення (fractal-based transforms); нейронні мережі (neural networks) — дані пропускаються через шари вузлів, «навчених» розпізнавати ті чи інші структури — використовуються для аналізу переваг і цільових ринків,
а також для приваблювання замовників.

До DM можна віднести ще візуалізацію даних — побудову графічного образу даних, що допомагає у процесі загального аналізу даних вбачати аномалії, структури, тренди. Частково до DM примикають дерева рішень і паралельні бази даних.

DM тісно пов’язана (інтегрована) зі сховищами даних (Data Warehousing, DW), які, можна сказати, забезпечують роботу Data Mining.

Data Mining — міждисциплінарна технологія, що виникла й розвивається на базі досягнень прикладної статистики, розпізнавання образів, методів штучного інтелекту, теорії баз даних тощо . Звідси й численні методи та алгоритми, реалізовані в різних дійових системах Data Mining. Багато з таких систем інтегрують у собі відра-
зу кілька підходів. Проте, як правило, у кожній системі присутній пев­ний ключовий компонент, на який робиться головна ставка.

Предметно-орієнтовані аналітичні системи. Такі системи дуже різноманітні. Найширший їх підклас, що набув поширення у сфері дослідження фінансових ринків, дістав назву «технічний аналіз». Він містить кілька десятків методів прогнозування динаміки цін і вибору оптимальної структури інвестиційного портфеля, які ґрунтуються на різних емпіричних моделях динаміки ринку. Зазначені методи, застосовуючи здебільшого нескладний статистичний апарат, максимально враховують специфіку своєї предметної галузі (професійна мова, системи різних індексів тощо). На ринку пропонується багато відповідних програм.

Статистичні пакети. Новітні версії майже всіх відомих статистичних пакетів поряд із традиційними статистичними методами містять також елементи Data Mining. Проте основна увага приділяється в них класичним підходам — кореляційному, регресійному, факторному аналізу та іншим. Недоліком відповідних систем можна вважати вимоги щодо спеціальної підготовки користувача. Існує, однак, і принциповий недолік статистичних пакетів, що обмежує їх застосування в Data Mining: більшість методів, що входять до складу пакетів, спираються на усереднені характеристики вибірки, які в разі дослідження складних життєвих явищ часто є фіктивними. І все ж деякі сучасні пакети пропонують модулі для інтелектуального аналізу. Наприклад, STATISTICA містить модуль Data Miner, що дає змогу будувати дерева рішень, нейронні мережі, виявляти IF THEN правила тощо.

До найпотужніших і найчастіше застосовуваних статистичних пакетів належать SAS (компанія SAS Institute), SPSS (SPSS), STATGRAPICS (Manugistics), STATISTICA, STADIA, Eviews тощо.

Нейронні мережі. Це великий клас систем, архітектура яких певною мірою аналогічна побудові нервової тканини з нейронів. В одній із найпоширеніших архітектур — багатошаровому перцептроні зі зворотним зв’язком помилки, імітується робота нейронів у складі ієрархічної мережі, де кожний нейрон вищого рівня з’єднаний своїми входами з виходами нейронів нижчого шару. На нейрони найнижчого шару подаються значення вхідних параметрів, на підставі яких потрібно приймати якісь рішення, прогнозувати розвиток ситуації тощо. Ці значення розглядаються як сигнали, що передаються в наступний шар, послаблюючи чи підсилюючи його залежно від числових значень (ваг), приписуваних міжнейронним зв’язкам.

У результаті на виході нейрона найвищого шару вироб­ляється деяке значення, що розглядається як відповідь (реакція) всієї мережі на значення вхідних параметрів. Для того щоб мережу можна було використовувати надалі, її потрібно «навчити» на базі здобутих раніше даних, для яких відомі значення вхідних параметрів і правильні відповіді на них. Тренування полягає в доборі ваг міжнейронних зв’язків, що забезпечують найбільшу близькість відповідей мережі до відомих правильних відповідей.

Основним недоліком нейромережної технології є те, що вона потребує дуже великого обсягу навчальної вибірки. Ще один істотний недолік такий: навіть натренована нейронна мережа — це «чорна скринька». Знання, зафіксовані як ваги кількох сотень міжнейронних зв’язків, людина не в змозі проаналізувати й інтерпретувати.

До нейромережних систем належить, скажімо, BrainMaker (CSS), NeuroShell (Ward Systems Group), OWL (HyperLogic).

Системи міркувань на основі аналогічних випадків. Для того щоб зробити деякий прогноз або вибрати правильне рішення, зазначені системи (case based reasoning — CBR) відшукують у минулому близькі аналоги наявної ситуації, вибираючи ті самі відповіді, що були для них правильними. Тому цей метод ще називають методом «найближчого сусіда» (nearest neighbour). Останнім часом набув поширення також термін «memory based reasoning», який акцентує увагу на тому, що рішення приймається на підставі всієї інформації, нагромадженої в пам’яті.

Системи CBR забезпечують добрі результати в найрізноманітніших задачах. Головний їхній недолік полягає в тому, що вони взагалі не створюють будь-яких моделей чи правил, які узагальнюють попередній досвід, а ґрунтуються у виборі рішення на всьому масиві доступних історичних даних. Саме через це не можна встановити, на яких конкретно засадах системи CBR будують свої відповіді.

Інший недолік — певне «свавілля», що його припускаються такі системи, вибираючи міру «близькості», від якої залежить обсяг множини прецедентів, збережуваних у пам’яті з метою досягнення задовільної класифікації або прогнозу.

З-поміж систем CBR назвемо, наприклад, KATE tools (Ackno­soft, Франція), Pattern Recognition Workbench (Unica, США).

Дерева рішень (decision trees). Дерева рішень є одним із найпопулярніших підходів до розв’язання задач Data Mining. Вони створюють ієрархічну структуру правил, класифікованих за схемою «ЯКЩО… ТО…» (if-then), яка має вигляд дерева. Для ухвалення рішення про те, до якого класу варто віднести деякий об’єкт (ситуацію, потрібно відповісти на запитання, що містяться у вузлах
цього дерева, починаючи з його кореня. Запитання можуть бути, наприклад, такі: «Значення параметра а більше за x?». Якщо відповідь ствердна, відбувається перехід до правого вузла наступного рівня, якщо заперечна — до лівого вузла. Далі знову ставиться запитання, пов’язане з відповідним вузлом.

Популярність цього підходу зумовлюється наочністю та зро-
зумілістю. Але дерева рішень принципово не здатні знаходити «кращі» (найбільш повні і точні) правила в даних. Вони реалізують принцип послідовного перегляду ознак і збирають фактично уламки наявних закономірностей, створюючи лише ілюзію логіч­ного висновку.

Проте більшість систем діють саме за цим методом. До таких належать, наприклад, See5/З5.0 (RuleQuest, Австралія), Clementine (Integral Solutions, Великобританія), SIPINA (University of Lyon, Франція), IDIS (Information Discovery, США), KnowledgeSeeker (ANGOSS, Канада).

Еволюційне програмування. Сучасний його стан схарактеризуємо, розглянувши систему PolyAnalyst, в якій гіпотези про вигляд залежності цільової змінної від інших змінних формулюються у вигляді програм, що подаються деякою внутрішньою мовою програмування. Процес побудови програм розгортається еволюційно в комплексі програм (на кшталт генетичних алгоритмів). Коли система відшукує програму, що більш-менш задовільно виражає шукану залежність, вона починає вносити до неї невеликі модифікації і добирає серед побудованих дочірніх програм ті, які підвищують точність. У такий спосіб система «вирощує» кілька генетичних ліній програм, що конкурують між собою стосовно точності вираження шуканої залежності. Спеціальний модуль системи PolyAnalyst перекладає знайдені залежності з внутрішньої мови системи зрозумілою користувачеві мовою (математичні фор­мули, таблиці тощо).

Інший напрямок еволюційного програмування пов’язаний із пошуком залежності цільових змінних від решти у формі функцій певного вигляду. Наприклад, один із найбільш вдалих алгоритмів цього типу — метод групового врахування аргументів (МГВА) передбачає відшукання залежності у формі поліномів.

Генетичні алгоритми. Data Mining не є головною сферою застосування генетичних алгоритмів. Їх варто розглядати радше як могутній засіб розв’язання різноманітних комбінаторних задач та задач оптимізації. Проте генетичні алгоритми становлять нині стандартний інструментарій методів Data Mining.

Перший крок під час побудови генетичних алгоритмів — це кодування вихідних логічних закономірностей у базі даних, що їх іменують хромосомами, а весь набір таких закономірностей називають популяцією хромосом. Далі для реалізації концепції вибору вводиться спосіб зіставлення різних хромосом. Популяція обробляється за допомогою процедур репродукції, мінливості (мутацій), генетичної композиції. Ці процедури імітують біологічні процеси. Найважливіші з них такі:

випадкові мутації даних в індивідуальних хромосомах, переходи і рекомбінації генетичного матеріалу, що міститься в індивідуальних батьківських хромосомах, і міграцію генів;

у процесі виконання процедур на кожній стадії еволюції виходять популяції з дедалі досконалішими індивідами.

Генетичні алгоритми зручні тим, що їх легко розпаралелити. Наприклад, можна розбити покоління на кілька груп і працювати з кож­ною з них незалежно, змінюючи час від часу кілька хромосом. Існують також інші методи розпаралелювання генетичних алгоритмів.

Генетичні алгоритми мають і низку недоліків. Критерій добору хромосом і використовуваних процедур є евристичним і зовсім не гарантує відшукання «найкращого» рішення. Як і в реальному житті, еволюцію може «заклинити» на якій-небудь непродуктивній галузці. І, навпаки, може статися, що безперспективні батьки, яких вилучить з еволюції генетичний алгоритм, будуть здатні породити високоефективного нащадка. Це особливо стає помітним під час розв’язування багатовимірних задач зі складними внутрішніми зв’язками.

Як приклад можна згадати систему GeneHunter фірми Ward Systems Group.

Алгоритми обмеженого перебору. Ці алгоритми обчислюють частоти комбінацій простих логічних подій у підгрупах даних. Приклади простих логічних подій: x = a; x < a; x > a; a < x < b
тощо, де x — деякий параметр, a та b — константи. На підставі аналізу обчислених частот робиться висновок про корисність тієї чи іншої комбінації стосовно встановлення асоціацій у даних, класифікації, прогнозування і т. ін.

Найбільш виразним сучасним представником цього підходу є система WizWhy підприємства WizSoft.

Системи для візуалізації багатовимірних даних. Засоби гра­фічного відображення даних тією чи іншою мірою підтримуються всіма системами Data Mining. Проте дуже значну частку ринку становлять системи, що спеціалізуються винятково на цій функції. Одна з них — програма DataMiner 3D словацької фірми Dimension 5.

У таких системах основна увага сконцентрована на дружньому користувальницькому інтерфейсі, що дає змогу асоціювати з аналізованими показниками різні параметри діаграми розсіювання об’єктів (записів) бази даних. До зазначених параметрів належать колір, форма, орієнтація щодо власної осі, розміри й інші властивості графічних елементів зображення. Крім того, системи візуалізації даних є зручними засобами для масштабування зображень.

Контрольні запитання та завдання

Охарактеризуйте сучасний стан розвитку ІСТ.

У чому полягає сутність технології структурного моделювання (SADT)?

Розкрийте основні ідеї об’єктно-орієнтованого підходу до побудови ІС?

Дайте визначення технології Data Mining.

Чим відрізняється технологія DM від OLAP?

Наведіть основні етапи проведення інтелектуального аналізу даних.

6.1. Поняття «моделі» та «моделювання»

Термін «модель» широко вживаний не лише в науковій літературі, причому залежно від ситуації в нього вкладається різний зміст. Слово «модель» походить від латинського «modulus», що означає міра, мірило, зразок, норма.

У найширшому сенсі під словом «модель» розуміють деякий образ об’єкта (зокрема, умовний чи уявний), що нас цікавить, або, навпаки — прообраз деякого об’єкта чи системи об’єктів. Наприклад, глобус — модель Земної кулі, фотографія — модель зображеного на ній об’єкта; карта — модель місцевості і т. ін. Що ж до розуміння моделі як прообразу, то можна згадати, наприклад, модель автомобіля, експоновану на виставці, за якою надалі поч­неться масове виготовлення таких автомобілів.

Під моделюванням розуміють дослідження об’єктів пізнання не безпосередньо, а непрямим шляхом, вивченням деяких інших допоміжних об’єктів.

Аналогією називають судження про будь-яку подібність у деякому сенсі двох об’єктів. Визначення ступеня істотності подібності чи відмінності об’єктів є умовним і відносним. Істотність подібності (відмінності) залежить від погляду спостерігача і визначається конкретною задачею. Сучасна наукова гіпотеза створюється, як правило, на підставі аналогії з виконаними на практиці науковими дослідженнями. Отже, аналогія пов’язує гіпотезу з експериментом.

Гіпотези й аналогії, що відбивають світ, який реально, об’єктив­но існує, мають бути наочними і зводитися до зручних для дослідження логічних схем. Такі логічні схеми, що спрощують міркування та логічні побудови або дають змогу проводити експерименти для уточнення природи явища, називаються моделями.

Іншими словами: модель — це деякий об’єкт-замінник об’єкта-оригіналу, що забезпечує вивчення деяких істотних, з погляду дослідника, властивостей оригіналу.

Заміщення одного об’єкта іншим із метою здобуття інформації про найважливіші властивості об’єкта-оригіналу за допомогою об’єкта-моделі називається моделюванням. Таким чином, моделювання полягає в заміні об’єкта моделлю з метою дістати інформацію про цей об’єкт, виконуючи експерименти з його моделлю. Теорія заміщення одних об’єктів (оригіналів) іншими (моделями) і дослідження властивостей об’єктів на їхніх моделях називається теорією моделювання.

Якщо результати моделювання підтверджуються і можуть бути основою для прогнозування процесів, що відбуваються в об’єкті-оригіналі, то говорять, що модель адекватна об’єктові. При цьому адекватність моделі залежить від мети моделювання і прийнятих критеріїв.

Перше й основне запитання, що постає у процесі моделювання: на якій підставі за властивостями моделі можна робити висновки про властивості об’єктів, що нас цікавлять? Єдиної відповіді на це запитання не існує. У кожному окремому дослідженні необхідно доб­ре усвідомити, на чому ґрунтується впевненість і можливість пере-
несення здобутих у дослідженні результатів із моделі на оригінал.

Друге запитання — а навіщо потрібно використовувати якісь допоміжні об’єкти (моделі) і навіщо розв’язувати складну проб­лему адекватності, якщо, можливо, простіше було б досліджувати об’єкт безпосередньо?

Передусім із практичних міркувань: моделі вибираються таким чином, щоб вони були значно простіші для дослідження, ніж об’єкти, що нас цікавлять. Більш того, деякі об’єкти взагалі не вдається досліджувати суто експериментально. Особливо це стосується економічних об’єктів та систем. Наприклад, пізнавальний експеримент на базі економіки будь-якої країни практично неможливий, а коли б його й здійснили, то наслідки були б дуже сумними. Окрім того, моделювання дає змогу виявляти найістотніші фактори, що впливають на поводження оригіналу.

Основні типи моделей.

Натурні моделі. У разі натурного моделювання оригінал (об’єкт) і модель тотожні. Такі моделі широко використовуються в техніці з метою випробувати окремі види продукції чи агрегатів: на стадії складання певну частину виробів (електронних мікросхем, двигунів, автомобілів тощо) піддають тестуванню.

Фізичні моделі. Фізичне моделювання передбачає, що об’єкт і модель мають однакову фізичну природу. Саме такими є, скажімо, літак і його геометрична модель. На цій підставі за результатами продування моделі в аеродинамічній трубі роблять висновки про аеродинамічні якості літака. Зв’язок між характеристиками літака та його моделі встановлюється згідно з теорією подібності.

Аналогові моделі. Аналогове моделювання ґрунтується на аналогії явищ, що мають різну фізичну природу, але описуються однаковими математичними рівняннями. Найпростіший приклад: вивчення механічних коливань за допомогою електричної схеми, фізичні процеси в якій описуються тими самими диференціальними рівняннями, що й коливання.

Знакові моделі. У знаковому моделюванні моделями є знакові утворення деякого виду. Розглядають вербальні моделі, схеми, графи, графіки, креслення, математичні вирази, формули тощо, причому знакові утворення та їхні елементи завжди задаються разом із тими законами (правилами), відповідно до яких ними можна оперувати.

Математичні моделі. Найважливішим видом знакового моделювання є математичне моделювання, коли моделі будуються (описуються) засобами математики і логіки.

Для економічної кібернетики найбільшу практичну цінність становить економіко-математичне моделювання, спрямоване на дослідження економічних систем засобами математичного моделювання з урахуванням специфіки економіки та використанням здобутків економічних дисциплін (економічної теорії, макро- та мікроекономіки, менеджменту тощо).

6.2. Моделювання методом «чорної скриньки»

Незважаючи на те, що як засіб пізнання невідомих об’єктів людство здавна використовує метод «чорної скриньки», останній усе ж пов’язують з електротехнікою. Інженерові пропонується наглухо зачинена шухляда (скринька) із вхідними клемами, до яких він на свій розсуд може приєднувати будь-яку електричну напругу, імпульси та інші впливи, і з вихідними клемами, на яких він може спостерігати вихідні сигнали. Завдання інженера — з’ясувати стосовно вмісту шухляди все, що він зможе (закон
функціонування, внутрішню структуру і т. ін.).

Позначивши, наприклад, вхідні впливи Х = {Х1, Х2, …, Хn}, а вихідні Y = {Y1, Y2, …, Yn}, маємо встановити вигляд функціональ­ної залежності Y = F(X)

Ця проблема часто постає безпосередньо, коли потрібно перевірити прилад — справний він чи ні, чи відповідає він стандарту. Проте сфера застосування методу «чорної скриньки» значно ширша. Наприклад, лікар, що обстежує хворого, ставить йому низку запитань-тестів (входи) і на підставі відповідей (виходи) та власного досвіду робить певні висновки щодо діагнозу.

Із застосуванням «чорної скриньки» ми стикаємося повсякчас, перемикаючи телевізор, працюючи за комп’ютером, керуючи автомобілем тощо.

Розглянемо методологію «чорної скриньки». Припустимо, що як вхід X, так і вихід Y піддаються зміні незалежно від їхньої фізичної природи.

Надаючи ряд значень вхідній змінній Xi, діставатимемо ряд значень іншої змінної Yj, тобто ряд спостережень (табл. 6.1).

Таблиця 6.1

Отже, первинні дані всякого дослідження «чорної скриньки» утворюються тільки з послідовності значень вектора з двома складовими — входу та виходу. Діставши доволі довгі ряди спостережень, експериментатор розпочинає пошук закономірностей у поводженні скриньки, пошук повторюваності такого поводження.

Якщо система не детермінована, тобто перетворення вхід—вихід не є однозначним, експериментатор може піти одним із двох шляхів:

1-й шлях — змінити множину входів і виходів, узявши до уваги більшу кількість змінних та збільшивши кількість спостережень, а далі з’ясувати, чи є нова система детермінованою;

2-й шлях — відмовитися від пошуків строгої детермінованості й спробувати відшукати статистичну закономірність.

6.3. Ізоморфні та гомоморфні системи

Ізоморфними системами з погляду кібернетичного моделювання називаються системи, однакові для спостерігача, якому доступні лише входи та виходи цих систем.

Отже, умовою ізоморфності систем А і В є така система рівнос­тей для довільного елемента (моменту часу) t:

Тут ізоморфізм тлумачиться як ідентичність поводження розглядуваних систем у деякому середовищі, з яким вони контактують через свої входи та виходи. При цьому системи А і В можуть мати різну фізичну природу. Ізоморфні системи є ідеальними
функціональними моделями одна одної.

При цьому залежність між входами та виходами має вигляд:

У такому разі системи А і В уже не будуть ізоморфними, та й структура в них різна: модель Y «простіша», має менше входів і виходів. Але зауважимо таке: для кожного стану системи А маємо тільки один цілком визначений стан системи В, тобто за станом системи А ми однозначно можемо визначити стан системи В.

Наприклад, якщо значення параметрів для системи А буде
{Х1 = 1, Х2 = 3, Х3 = 5, Х4 = 2, Y1 = 7, Y2 = 4}, то для системи В дістанемо {U1 = 4, U2 = 7, V = 19}.

Але якщо ми задамо якийсь стан системи В, то однозначно визначити стан системи А не зможемо — у системи А можлива множина станів. Наприклад, якщо для системи В маємо {U1 = 5, U2 = 4, V = 10}, то для системи А дістанемо 6 змінних і 3 рівняння:

Отже, система А не буде однозначно визначеною. Таку відповідність називають гомоморфізмом

Нехай система А — оригінал. Для цієї системи побудуємо модель В. Система А має розмірність n, а В — розмірність m < n. Якщо при цьому кожному стану А відповідає один цілком визначений стан B, але не кожному стану B відповідає один стан А, то систему В називають гомоморфною моделлю системи А.

Взагалі, створюючи модель В системи А ми намагаємося, як правило, втілити в цій моделі найбільш істотні властивості системи А, відкидаючи множину менш істотних властивостей з метою спрощення моделі. У результаті цього спрощення розмірність моделі В завжди буде меншою за розмірність А (тобто m < n).

Отже, модель — це гомоморфний образ оригіналу.

Модель «чорної скриньки» у вивченні великих економічних систем. З погляду «чорної скриньки» системи, що мають однакові входи та виходи й однаково реагують на зовнішні впливи, є ізоморфними, хоча за внутрішньою структурою вони можуть бути різними.

Модель «чорної скриньки» незамінна під час вивчення великих, зокрема й економічних систем. Зауважимо, що докладно вивчати поводження таких систем, впливаючи на їхні входи та спостерігаючи за виходами, як правило, неможливо, оскільки потребувало б надто багато часу. Навіть тоді, коли б ми мали у своєму розпорядженні всю інформацію про стан усіх елементів системи, навряд чи можна було б скласти повне уявлення про її поводження. Адже за величезної кількості зв’язків між елементами наявну інформацію не вдається звести в єдине ціле.

У цьому разі потрібно реальну складну економічну систему замінити іншою, простішою, але такою, що функціонує аналогічно. Отож економічну систему розглядають як «чорну скриньку»
і будують її спрощену модель, причому сама «чорна скринька» і модель, що її відтворює, описуються однаковими математичними співвідношеннями.

За такого абстрагування однозначним перетворенням реальної економічної системи дістають простішу модель, вилучаючи неістотні змінні, з певним наближенням оцінюючи значення істотних змінних, апроксимуючи нелінійні та стохастичні залежності ліній­ними й детермінованими, і т. ін. Здобута модель буде гомоморфною і, якщо зроблені припущення є достатньо обґрунтованими, то й адекватною моделлю складної реальної економічної системи.

Завдяки спрощенню реальної системи дістаємо однозначну від­повідність її стану гомоморфній моделі, а також неоднозначність оберненої відповідності.

6.4. Економіко-математичне моделювання

Дослідження математичної моделі дає змогу діставати характеристики реального економічного об’єкта чи системи. Тип математичної моделі залежить як від природи системи, так і від задач дослідження. У загальному випадку математична модель системи містить опис множини можливих станів останньої та закон переходу з одного стану до іншого (закон функціонування).

Розглянемо основні типи економіко-математичних моделей (ЕММ), які класифікують за різними критеріями.

За цільовим призначенням ЕММ поділяються на теоретико-аналітичні, застосовувані для дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних процесів (наприклад, модель Кейнса), та прикладні, призначені для розв’язування конкретних економічних задач (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління тощо).

ЕММ можуть бути призначені для дослідження як різних функціональних складових економіки (виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структури), так і його окремих частин. Розглядають моделі всієї економіки в цілому та її підсистем — секторів, галузей, регіонів, комплексів моделей виробництва, споживання, формування та розподілу прибутків, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв’язків тощо.

Згідно із загальною класифікацією математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, охоплюючи проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на макрорівні най­частіше використовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв’язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв’яз­ків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поводження об’єкта («вихід») впливають, змінюючи «вхід». Прикладом може бути модель поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин. Один і той самий об’єкт може описуватися водночас як структурною, так і функціональною моделлю.

За характером відображення причинно-наслідкових зв’язків розрізняють детерміновані моделі та моделі, що враховують випадковість і невизначеність — стохастичні.

Залежно від урахування часового чинника економіко-матема­тичні моделі поділяються на статичні та динамічні. У статичних моделях усі залежності стосуються одного моменту або періоду часу. Динамічні моделі характеризують зміни економічних процесів у часі.

За тривалістю періоду часу, що розглядається, розрізняють моделі короткострокового (до року), середньострокового (до 5 років), довгострокового (10—15 і більше років) прогнозування та планування. Час в економіко-математичних моделях може змінюватися неперервно або дискретно. Тому розрізняють неперервні та дискретні моделі

Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні за формою математичних залежностей. У загальному випадку виокремлюють лінійні та нелінійні моделі. Особливо важливим є клас лінійних моделей, найзручніших для аналізу й розрахунків, зав-дяки чому вони набули великого поширення.

Відмінності між лінійними та нелінійними моделями істотні не лише з математичного, а й з теоретико-економічного погляду. Адже численні залежності в економіці як на макро-, так і на мікрорівні мають принципово нелінійний характер: вплив податкової та грошово-кредитної політики на економічних суб’єктів, ефективність використання ресурсів з розширенням виробництва, зміна обладнання, моделі управління запасами тощо. Теорія «лінійної економіки» істотно відрізняється від теорії «нелінійної економіки». Від того, якими — опуклими чи неопуклими — вважаються множини виробничих можливостей підсистем (галузей, підприємств), істотно залежать висновки про можливості поєднання централізованого планування та господарської самостійності економічних підсистем.

За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які вклю­чаються до моделей, останні поділяють на відкриті і замкнені. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна мати хоча б одну ендогенну змінну. Повністю замкненими (такими, що не містять жодної екзогенної змінної) економіко-математичні моделі бувають надзвичайно рідко. Загалом економіко-математичні моделі різняться за ступенем відкритості.

Макроекономічні моделі поділяють на агреговані та деталізовані. Залежно від того, чи містять ці моделі просторові чинники та умови, чи ні, розрізняють моделі просторові та точкові.

Отже, загальна класифікація ЕММ охоплює понад десять основних ознак. З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації застосовуваних моделей дедалі ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей (особливо мішаних типів) і нових ознак їх класифікації відбувається інтеграція моделей різних типів у складніші модельні конструкції.

Розглянемо основні етапи економіко-математичного моделювання. Процес моделювання передбачає наявність трьох структурних елементів: об’єкта дослідження; суб’єкта (дослідник); моделі, яка опосередковує відносини між суб’єктом і об’єктом.

Побудова ЕММ у загальному випадку складається з розглянутих далі етапів.

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати сутність проблеми, визначити передумови й висловити припущення. Необхідно виокремити найважливіші властивості об’єкта моделювання, вивчити його структуру, дослідити взаємозв’язки між його елементами,
   а також хоча б попередньо сформулювати гіпотези, що пояснюють поводження й розвиток об’єкта (динаміку руху), дослідити його зв’язки із зовнішнім середовищем тощо.

При цьому складні об’єкти розбиваються на частини (елементи) окремого дослідження: визначаються зв’язки та логічні спів-
відношення між ними, їхні кількісні та якісні властивості. Зазначені дії становлять етап системного аналізу задачі, у результаті якого об’єкт подається у вигляді системи.

2. Побудова математичної моделі. Цей етап полягає у формалізації економічної моделі, тобто вираженні її у вигляді кон-кретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей тощо). Процес побудови моделі складається з кількох стадій. Спочатку визначають тип економіко-математичної моделі, вивчають можливості її застосування в розглядуваному конкретному випадку, уточнюють перелік змінних та параметрів, форми зв’язку між ними. Для складних об’єктів доцільно будувати кілька різноаспектних моделей.
3. Математичний аналіз моделі. На цьому етапі суто математичними прийомами досліджують загальні властивості моделей та розв’язків. Може статися, що раніше виконаний системний аналіз привів до такого набору елементів, властивостей і співвідношень, для якого немає прийнятного методу розв’язання задачі. Тоді доводиться повертатися до етапу системного аналізу. Важливим моментом є доведення існування розв’язків сформульованої задачі. У процесі аналітичного аналізу з’ясовують кількість розв’язків (єдиний чи неєдиний), визначають змінні та параметри, які можуть входити до розв’язку, а також межі та тенденції їх зміни.

Проте моделі складних економічних об’єктів дуже погано піддаються аналітичному дослідженню. У таких випадках переходять до чисельних методів дослідження. Як правило, задачі, що виникають в економічній практиці, намагаються звести до відомих моделей, для яких розроблено методи й алгоритми розв’язання.

4. Підготовка вихідної інформації. В економічних задачах це, як правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, оскіль­ки тут замало самого лише пасивного збору даних. Математич-
   не моделювання висуває жорсткі вимоги до якості інформації. У процесі підготовки інформації використовуються методи теорії ймовірностей, математичної статистики, а також економічної статистики для агрегування, групування даних, оцінювання вірогідності даних тощо.

У процесі системного економіко-математичного моделювання результати функціонування одних моделей виступають вихідною інформацією для інших.

5. Чисельне моделювання. Цей етап передбачає розробку алгоритмів чисельного розв’язання задачі, підготовку комп’ютер­них програм та безпосереднє виконання розрахунків. При цьому постають значні труднощі, зумовлені великою розмірністю економічних задач. Для великих складних об’єктів може знадобитися складання бази даних та відшукання засобів роботи з нею, а також методів добування даних, потрібних для розрахунків. У разі стандартних задач здійснюється вибір придатного пакета програм та системи управління базами даних (СУБД). Чисельне моделювання істотно доповнює результати аналітичного дослід­ження.
6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі передусім з’ясовується найважливіше питання щодо правильності й повноти результатів моделювання та можливості їх практичного використання, а також досліджуються можливі напрямки подальшого вдосконалення моделі.

Тому спершу перевіряють адекватність моделі за тими властиво-тями, що було взято за найістотніші. Тобто потрібно виконати верифікацію і валідацію моделі, оскільки головна мета моделювання полягає в розв’язуванні практичних задач (аналіз економічних об’єктів, економічне прогнозування, вироблення управлінських рішень і т. ін.).

Верифікація моделі — перевірка правильності структури (логіки) моделі.

Валідація моделі — перевірка відповідності здобутих у результаті моделювання даних реальному процесу в економіці.

Перелічені етапи економіко-математичного моделювання перебувають у тісному взаємозв’язку, зокрема можуть існувати зворотні зв’язки між етапами. Так, на етапі побудови моделі може з’ясуватися, що постановка задачі суперечлива чи призводить до занадто складної математичної моделі. Тоді вихідну постановку доводиться коригувати.

Найчастіше потреба повернутися до попереднього етапу постає на етапі підготовки вихідної інформації. Якщо необхідної інформації немає або її пошук тягне за собою великі витрати, доводиться повертатися до етапу формалізації і пристосовуватися до наявної інформації.

Отже, моделювання являє собою циклічний процес. За останнім етапом необхідно переходити до першого й уточнювати постановку задачі згідно зі здобутими результатами, потім — до другого й уточнювати (коригувати) математичний модуль, далі — до третього і т. д.

Контрольні запитання та завдання

На чому ґрунтується можливість застосування моделей під час дослідження реальних систем?

Наведіть приклади моделей (фізичних, натурних, графічних, математичних) систем різноманітної природи.

Охарактеризуйте метод опису систем за допомогою «чорної скриньки». У чому його недоліки та переваги? Наведіть приклади його застосування.

Наведіть класифікацію математичних моделей, що найчастіше використовуються в економіці.

У чому полягають основні етапи економіко-математичного моделювання?

Чому моделювання являє собою циклічний процес?

7.1. Виробничі функції

Поняття виробничої функції (ВФ) виникло з огляду на потребу відбити залежність між обсягом продукції, що виробляється, і ком­понентами витрат ресурсів (праці та капіталу). Американський еко­номіст П. Дуглас помітив, що співвідношення доходів від праці та капіталу в національному доході США майже не змінюється з часом. Цей висновок підтвердили подальші емпіричні дослідження для різних країн світу.

Описуючи виробничу підсистему економіки за допомогою ВФ, цю підсистему розглядають як «чорну скриньку», на вхід якої подаються ресурси X1, X2, …, Xn, а на виході отримуються річні обсяги різноманітної готової продукції Y1, Y2, …, Yk. Як фактори виробництва на макрорівні здебільшого розглядають виробничі фонди K (капітал) та працю L, а як результати виробництва — валовий випуск продукції (ВВП або НД) Y

Отже, економіку моделюють нелінійною ВФ

Y = F(K, L).

Розглянемо найпоширеніші класи ВФ, що застосовуються для моделювання економіки.

ВФ називається неокласичною, якщо вона є гладкою та задовольняє такі умови:

F(0, L) = F(K, 0) = 0 — за відсутності одного з факторів виробництво неможливе;

 — зі зростанням витрат ресурсів виробництво зростає;

 — зі зростанням витрат ресурсів швидкість зростання виробництва спадає;

за необмеженого зростання одного з факторів випуск продук­ції зростає також необмежено.

Мультиплікативна ВФ має такий вигляд (для двох факторів):

де a1, a2 — коефіцієнти еластичності.

Частинним випадком такої ВФ є функція Коба—Дугласа, для якої виконується умова a1 + a2 = 1. Беручи до уваги технологічний прогрес, до моделі часто включають множник exp(lt). Однією з переваг зазначеної моделі є те, що вона стає лінійною після
логарифмування:,

де індекс t = 1, …, T показує момент часу (або номер спостереження) за факторами виробництва та випуском. Тоді невідомі параметри можна знайти методом найменших квадратів (МНК) за допомогою стандартних пакетів прикладних програм (наприклад, MS Excel, Eviews, SAS тощо).

Можна легко переконатись, що мультиплікативні ВФ задоволь­няють перші дві умови для неокласичних функцій. Справді,
знайдемо перші частинні похідні:оскільки a1 > 0, a2 > 0.

Частинні похідні випуску за факторами — так звані граничні продукти, або граничні ефективності, факторів — відповідають приросту випуску на одиницю приросту фактора. Неважко переконатись, що мультиплікативна ВФ задовольняє також умови 3 і 4 для неокласичних ВФ.

Подамо економічну інтерпретацію параметрів a1 > 0, a2 > 0. Для цього введемо поняття еластичностей як логарифмічних похідних факторів за випуском.

Отже, коефіцієнти еластичності показують, на скільки відсотків зросте випуск, якщо фактор зросте на 1 %. При a1 > a2 спостерігається інтенсивне зростання, у протилежному випадку — екстенсивне виробництво.

Ізоквантою називають геометричне місце точок на площині K, L, що відповідає одному й тому самому рівню випуску продукції, тобто F(K, L) = Y0 = const.

Для мультиплікативної ВФ норма заміни праці фондами прямо пропорційна до фондоозброєності:

Ізоклінами називають лінії найбільшого зростання ВФ. Ізокліни ортогональні до ліній нульового зростання — ізоквант. Оскільки напрям найбільшого зростання задається градієнтом , то рівняння ізоклінали подається

Виробнича функція називається однорідною ступеня g, якщо
F(lK, lL) = lgF(K, L). Отже, мультиплікативна ВФ буде однорідною ступеня a1 + a2.

Розглянемо ще один клас ВФ — зі сталою еластичністю заміни факторів (CES-функції). Для них виконується рівність .

7.2. Балансові моделі

Балансові моделі як статистичні, так і динамічні широко застосовуються в економіко-математичному моделюванні. В основу створення цих моделей покладено балансовий метод — метод взаємного зіставлення наявних матеріальних, трудових і фінансових ресурсів та потреб у них. Описуючи економічну систему в цілому, під її балансовою моделлю розуміють систему рівнянь, кожне з яких виражає вимогу балансу між виробленою окремими економічними об’єктами кількістю продукції та сукупною потребою в цій продукції. За такого підходу економічна система складається з економічних об’єктів, кожний з яких випускає деякий продукт. Частину останнього споживають інші об’єкти системи, а решта виводиться за межі системи як її кінцевий продукт.

Якщо замість поняття «продукт» ввести загальніше поняття «ресурс», то під балансовою моделлю потрібно розуміти систему рівнянь, що задовольняють вимоги відповідності між наявним ресурсом та його використанням. Крім наведеної щойно вимоги стосовно відповідності виробництва кожного продукту і потребі в ньому розглядають також балансову відповідність як відповідність наявності робочої сили фактичній кількості робочих місць або платоспроможного попиту населення наявній пропозиції товарів і послуг тощо. При цьому під відповідністю розуміють достатність ресурсів для покриття потреби і, отже, існування деякого резерву.

Найважливіші види балансових моделей: часткові матеріальні, трудові та фінансові баланси для економіки в цілому та окремих її галузей;  міжгалузеві баланси;  матричні баланси підприємств і фірм.

Балансовий метод є основним інструментом для аналізу пропорцій в економіці. Балансові моделі на базі звітних балансів характеризують сформовані пропорції, причому їхня ресурсна частина завжди дорівнює видатковій.

Для виявлення диспропорцій використовуються балансові моделі, в яких фактичні ресурси зіставляються не з їх фактичним споживанням, а з потребою в них. З огляду на це балансові моделі не містять механізму порівняння окремих варіантів економічних рішень і не передбачають взаємозамінюваності різних ресурсів, через що унеможливлюється вибір оптимального варіанта розвитку економічної системи. Саме в цьому полягає обмеженість балансових моделей і балансового методу в цілому.

Основу інформаційного забезпечення балансових моделей в економіці становить матриця коефіцієнтів витрат ресурсів за конкретними напрямками їх використання. Скажімо, у моделі міжгалузевого балансу зазначену роль відіграє так звана технологічна матриця — таблиця міжгалузевого балансу, складена з коефіцієнтів (нормативів) прямих витрат на виробництво одиниці продукції в натуральному виразі. З багатьох причин вихідні дані реальних господарських об’єктів не можуть бути використані в балансових моделях безпосередньо, тому підготовка інформації для введення в модель є доволі важливою проблемою.

Так, будуючи модель міжгалузевого балансу (МГБ), застосовують специфічне поняття чистої, або технологічної галузі, тобто умовної галузі, яка поєднує все виробництво відповідного продукту незалежно від відомчої (адміністративної) підпорядкованості та форм власності підприємств і фірм, що його виробляють.

У разі переходу від господарських галузей до чистих галузей потрібне спеціальне перетворення реальних даних господарських об’єктів, наприклад агрегування галузей, вилучення внутрішньогалузевого обігу і т. ін. Тоді поняття «міжпродуктовий баланс» і «міжгалузевий баланс» практично ідентичні, відмінність полягає лише в одиницях, якими вимірюють елементи балансу.

Балансові моделі належать до матричного типу економіко-мате­матичних моделей, оскільки вони будуються у вигляді матриць — прямокутних таблиць чисел. У матричних моделях балансовий метод набуває строгого математичного вираження. Отже, матрична структура притаманна міжгалузевому і міжрайонному балансу виробництва й розподілу продукції в народному господарстві, моделям розвитку галузей, міжгалузевим балансам виробництва й розподілу продукції окремих регіонів, моделям підприємств і фірм. Попри специфіку цих моделей їх поєднує не лише загальний формальний (матричний) принцип побудови та спільність системи розрахунків, а й аналогічність низки економічних характеристик.

Завдяки цьому структуру, зміст і основні залежності матричних моделей можна досліджувати на прикладі однієї з них, а саме моделі міжгалузевого балансу виробництва й розподілу продукції в економіці. Цей баланс відбиває виробництво й розподіл суспільного продукту за галузями, міжгалузеві виробничі зв’язки, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення й розподіл національного доходу.

Принципову схему міжгалузевого балансу виробництва й розподілу сукупного суспільного продукту у вартісному виразі наведено в табл. 7.1. В основу цієї схеми покладено поділ сукупного продукту на дві частини — проміжний і кінцевий продукт. Усе народне господарство подається у вигляді сукупності n («чистих») галузей, при чому кожна з них фігурує в балансі як така, що виробляє і споживає.

Таблиця 7.1

Принципова схема міжгалузевого балансу (МГБ)

Розглянемо чотири великі складові схеми МГБ, що мають різний економічний зміст — так звані квадранти балансу (на схемі їх позначено римськими цифрами І—ІV).

Квадрант І — це шахова таблиця міжгалузевих матеріальних зв’язків. Показники, розміщені на перетині її рядків і стовпців, являють собою значення міжгалузевих потоків продукції й у загальному вигляді позначаються xij, де i, j — номер галузі, що виробляє і, відповідно, споживає продукцію. Наприклад, коефіцієнт x32 характеризує вартість засобів виробництва, вироблених у галузі з номером 3 і спожитих як матеріальні витрати в галузі з номером 2. Отже, квадрант І за формою являє собою квадратну матрицю порядку n, сума всіх елементів якої дорівнює річному фонду відшкодування витрат засобів виробництва в матеріальній сфері.

У квадранті ІІ подано кінцевий продукт усіх галузей матері-
ального виробництва. Під кінцевою розуміють продукцію, що над­ходить зі сфери виробництва в галузь кінцевого використання (на споживання й нагромадження). У табл. 7.1 цей розділ подано у вигляді стовпця величин Yi. У розгорнутій схемі балансу кінцевий продукт кожної галузі відбивають диференційовано, за напрямками використання: особисте споживання населення, суспільне спо­живання, нагромадження, відшкодування втрат, експорт тощо.

Отже, квадрант ІІ у згорнутому вигляді характеризує галузеву матеріальну структуру національного доходу, а в розгорнутому — також і поділ національного доходу на фонд нагромад­ження і фонд споживання, структуру споживання і нагромадження за галузями виробництва та споживачами.

Квадрант ІІІ також характеризує національний дохід, але з боку його вартісного складу як суми чистої продукції й амортизації. При цьому чисту продукцію розуміють як суму оплати праці та чистого доходу галузей. Суму амортизації cj та чистої продукції vj + mj деякої j-ї галузі називатимемо умовно чистою продукцією цієї галузі й позначатимемо надалі Zj.

Квадрант ІV розташований на перетині стовпців квадранта ІІ (кінцевий продукт) і рядків квадранта ІІІ (умовно чиста продукція). Цим визначається його зміст: він відбиває кінцевий розподіл і використання національного доходу. У результаті перерозподілу створеного національного доходу утворюються кінцеві доходи населення, підприємств, держави. Дані квадранта ІV важливі, коли йдеться про відображення в моделі МГБ доходів і витрат населення, джерел фінансування капіталовкладень, поточних витрат невиробничої сфери чи про аналіз загальної структури кінцевих доходів за групами споживачів. Вельми важливим є й те, що загальний підсумок квадранта ІV, так само як ІІ і ІІІ, має дорівнювати створеному за рік національному доходу.

Отже, міжгалузевий баланс поєднує в єдиній моделі баланси галузей матеріального виробництва, баланс сукупного суспільного продукту, баланси національного доходу, фінансовий баланс, а також баланс доходів і витрат населення. Варто наголосити, що хоча валова продукція галузей не входить до розглянутих щойно чотирьох квадрантів, вона присутня на принциповій схемі МГБ у двох місцях — як стовпець, розміщений праворуч від квадранта ІІ, і як рядок нижче від квадранта ІІІ. Зазначені стовпець і рядок валового продукту закінчують схему МГБ і відіграють важливу роль як для перевірки правильності заповнення квадрантів (тобто перевірки самого балансу), так і для розробки економіко-матема­тичної моделі МГБ.

Позначаючи згідно зі схемою МГБ валовий продукт деякої галузі буквою X з нижнім індексом, що дорівнює номеру даної галузі, запишемо два найважливіші співвідношення, що відбивають сутність МГБ і є основою його економіко-математичної моделі.

По-перше, розглядаючи схему балансу за стовпцями, доходимо такого висновку: підсумок матеріальних витрат будь-якої галузі, що споживає, та її умовно-чистої продукції дорівнює валовій продукції цієї галузі.

Нагадаємо, що вартість умовно-чистої продукції Zj дорівнює сумі амортизації, оплати праці та чистого доходу j-ї галузі. Співвідношення (7.1) охоплює систему з n рівнянь, що відбивають вартісний склад продукції всіх галузей матеріальної сфери.

По-друге, розглядаючи схему МГБ за рядками для кожної галузі, що виробляє продукцію, можна побачити, що валова продукція такої галузі дорівнює сумі матеріальних витрат галузей, які споживають її продукцію, та її власної кінцевої продукції

Формула  описує систему з n рівнянь, які називають рівняннями розподілу продукції галузей матеріального виробництва за напрямками використання.

Ліві частини обох рівностей однакові, оскільки подають весь валовий суспільний продукт. Перші доданки правих частин цих рівностей також однакові й становлять підсумок квадранта І.

Ліва частина рівняння  — підсумок квадранта ІІІ, а права частина — підсумок квадранта ІІ. Загалом це рівняння показує, що в міжгалузевому балансі дотримано найважливішого принципу єдності матеріального й вартісного складу національного доходу.

7.3. Економіко-математична модель міжгалузевого балансу

Як уже зазначалося, основу інформаційного забезпечення моделі МГБ становить технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є також основою економіко-матема­тичної моделі МГБ.

Припустимо, що для виробництва одиниці продукції в j-й галузі потрібно витратити певний обсяг aij проміжної продукції i-ї
галузі. При цьому значення aij не залежить від обсягу вироб­ництва в цій галузі і є досить стабільним у часі. Величини aij називаються коефіцієнтами прямих матеріальних витрат

Означення. Коефіцієнтом прямих матеріальних витрат називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i-ї галузі необхідно (якщо враховувати тільки прямі витрати) для виробниц­тва одиниці продукції j-ї галузі.

Узявши до уваги , систему рівнянь балансу  можна переписати у вигляді:

        .            (7.5)

Нехай А = (aij) — матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, X — вектор-стовпець валової продукції і Y — вектор-стовпець кінцевої продукції. Тоді система рівнянь (7.5) у матричній формі набирає вигляду:

        .        (7.6)

Система рівнянь (7.5), або, у матричній формі, (7.6), називається економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьева, моделлю «витрати— випуск»). За допомогою цієї моделі, позначивши, як завжди, символом Е одиничну матрицю, виконувати три варіанти розрахунків:

задавши в моделі обсяги Хi валової продукції кожної галузі, визначають обсяги Yj кінцевої її продукції: Y = (Е – А)Х;

задавши обсяги Yi кінцевої продукції всіх галузей, знаходять обсяг Xi обсягу валової продукції кожної галузі: Х = (Е – А)–1Y;

задавши обсяги валової продукції для низки галузей, а для решти галузей — обсяги кінцевої продукції, відшукують обсяги кінцевої продукції перших галузей і обсяги валової продукції других (у цьому варіанті зручніше користатися не матричною формою моделі (7.6), а системою лінійних рівнянь (7.5)).

У наведених співвідношеннях (Е – А)–1 — матриця, обернена до матриці (Е – А). Якщо визначник матриці (Е – А) не дорівнює нулю, тобто ця матриця невироджена, то обернена до неї матриця існує. Позначивши цю обернену матрицю через Y = (Е – А)–1, можна систему рівнянь у матричній формі (7.6) подати у вигляді Х = ВY.

Нехай bij — елементи матриці В. Тоді з матричного рівняння для будь-якої i-ї галузі можна дістати таке співвідношення:

        .        (7.7)

Із (7.7) випливає, що обсяг валової продукції виступає як зважена сума обсягів кінцевої продукції, причому вагами є коефіцієнти bij, що показують, скільки всього потрібно виготовити продукції i-ї галузі, щоб у сферу кінцевого використання надійшла одиниця продукції j-ї галузі. На відміну від коефіцієнтів aij прямих витрат коефіцієнти bij називаються коефіцієнтами повних матеріальних витрат і охоплюють як прямі, так і непрямі витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, витрачених безпосередньо під час виготовлення певного продукту, то непрямі стосуються попередніх стадій виробництва і входять у виробництво продукту опосередковано через інші (проміжні) засоби виробництва.

Означення. Коефіцієнтом повних матеріальних витрат bij називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i-ї галузі потрібно виробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих її
витрат одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

Коефіцієнти повних матеріальних витрат застосовують, щоб з’ясувати, як позначиться на валовому випуску деякої галузі передбачувана зміна обсягів кінцевої продукції всіх галузей:

де ΔXi, ΔYj — зміна (приріст) обсягу відповідно валової і кінцевої продукції.

Переходячи до аналізу моделі МГБ, розглянемо передусім основні властивості матриці А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат. Коефіцієнти прямих витрат за означенням є невід’ємними. Окрім цього, оскільки відтворення було б неможливим, коли б для власного відтворення в галузі витрачалося більше продукту, ніж створювалося, то діагональні елементи матриці А, очевидно, мен­ші за одиницю: aij < 1.

Система рівнянь міжгалузевого балансу відбиває реальні економічні процеси, в яких сенс можуть мати лише невід’ємні значення валових випусків. Отже, вектор валової продукції складається з невід’ємних компонентів, тобто є невід’ємним: X ≥ 0.

Постає запитання: за яких умов економічна система здатна забезпечити додатний кінцевий випуск за всіма галузями? Відповідь на це запитання пов’язана з поняттям продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Називатимемо невід’ємну матрицю А продуктивною, якщо існує невід’ємний вектор X ≥ 0, такий що

          (7.8)

Умова (7.8) означає, очевидно, існування додатного вектора кінцевої продукції Y для моделі МГБ (7.6).

Для того щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з наведених далі умов:

1) існує невід’ємна матриця (Е – А)–1 ≥ 0;

2) матричний ряд

збіжний, причому його сума дорівнює матриці (Е – А)–1;

3) найбільше за модулем власне значення матриці А, тобто роз­в’язок характеристичного рівняння |А – λЕ| = 0, строго менше
від одиниці;

4) усі головні мінори матриці (Е – А), тобто визначники матриць, утворені елементами перших рядків і перших стовпців цієї матриці, порядку від 1 до n, додатні.

Простішою, але тільки достатньою ознакою продуктивності матриці А є обмеження на її норму, тобто на значення найбільшої із сум елементів матриці А в кожному стовпці. Якщо норма матриці А строго менша за одиницю, то ця матриця продуктивна. Ще раз наголосимо, що ця умова є тільки достатньою, і матриця А може бути продуктивною і тоді, коли її норма більша за одиницю.

Найбільший за модулем корінь характеристичного рівняння, наведеного в умові 3 продуктивності матриці А (позначимо його через λ*), може бути оцінкою загального рівня коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, а отже, значення (1 – λ*) характеризує залишок після витрат, тобто продуктивність. Чим більше (1 – λ*), тим більші можливості досягти ще й інших цілей, крім поточного виробничого споживання. Це означає, що вищий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим більше найбільше за модулем власне значення λ* і тим нижчий рівень продуктивності, та навпаки: чим нижчий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим менше найбільше за модулем власне значення і тим вища продуктивність.

Проаналізуємо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат, тобто матрицю В = (Е – А)–1. Коефіцієнт цієї матриці показує, скільки всього потрібно виробити продукції i-й галузі, щоб одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

Наведемо ще одне визначення коефіцієнта повних матеріальних витрат, узявши до уваги, що крім прямих витрат існують непрямі виробничі витрати під час виготовлення тієї чи іншої продукції будь-якої галузі. Розглянемо, наприклад формування витрат електроенергії на випуск сталевого прокату, обмежившись технологічним ланцюжком «руда — чавун — сталь — прокат». Витрати елек-
троенергії, що супроводжують виплавлення прокату зі сталі, назива­тимуться прямими витратами. Відповідні витрати в разі виплавлення сталі з чавуну дістануть назву непрямих витрат 1-го по­рядку, а витрати електроенергії, необхідні для одержання чавуну з руди, — непрямих витрат 2-го порядку і т. д. Отже, можна навести таке означення:

Означення. Коефіцієнтом повних матеріальних витрат сij називається сума прямих і непрямих витрат продукції i-ї галузі для виробництва одиниці продукції j-ї галузі з урахуванням усіх проміжних продуктів на всіх попередніх стадіях виробництва.

Нехай  — коефіцієнт непрямих матеріальних витрат k-го порядку.

Якщо матриця А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат є продуктивною, то з умови 2 продуктивності випливає існування матриці В = (Е – А)–1, що є сумою збіжного матричного ряду.

Порівнюючи два останні співвідношення, встановлюємо такий зв’язок між двома матрицями коефіцієнтів повних матеріальних витрат: B = Е + C, або, у поелементному запису.

Цей зв’язок визначає економічний зміст розбіжності між коефіцієнтами матриць B і С: на відміну від коефіцієнтів матриці С, що враховують тільки витрати на виробництво продукції, коефіцієнти матриці В крім витрат містять також саму одиницю кінцевої продукції, що виходить за сферу виробництва.

До найважливіших аналітичних можливостей моделей МГБ належить визначення векторів кінцевої та валової продукції. Різні модифікації розглянутої щойно моделі МГБ виробництва й розподілу продукції в економіці дають змогу розширити коло показників, охоплюваних моделлю. МГБ застосовують, наприклад, аналізуючи такі важливі економічні показники, як праця, фонди, оптові та споживчі ціни тощо. Зокрема, за допомогою МГБ на основі прямих і повних витрат праці на одиницю продукції можна побудувати балансові продуктово-трудові моделі, в яких вихідною моделлю є звітний міжпродуктовий баланс у натуральному виразі.

Контрольні запитання та завдання

Що таке виробнича функція?

Доведіть, що ВФ Коба—Дугласа є неокласичною.

За реальними статистичними даними (офіційні статистичні видання та інформація в мережі Інтернет) побудуйте ВФ Коба—Дугласа для України, Росії та США.

Наведіть принципову схему міжгалузевого балансу виробництва і розподілу сукупного суспільного продукту у вартісному вираженні.

Доведіть необхідні і достатні умови продуктивності матриці прямих матеріальних витрат А моделі МГБ.

Наведіть приклади застосування балансових моделей в економіці.

8.1. Загальна модель макроекономічної динаміки

На відміну від статичних динамічні моделі описують не стан, а процес розвитку економіки, установлюючи безпосередній взаємо­зв’язок між попередніми та наступними його етапами і тим самим наближаючи аналітичні висновки на основі економіко-матема­тичної моделі до реальних умов розвитку економічної системи.

Макроекономічна динаміка — це складний процес розвитку економіки в цілому, що розглядається як єдина система, що утворюється в результаті взаємодії виробників і споживачів, кредиторів і боржників на основних ринках — товарному, грошовому та ринку ресурсів.

Аналізуючи макроекономічну систему, виокремлюють два блоки: статичний, який формує параметри системи, та динамічний, що описує траєкторію її розвитку. Динаміка описується кількома рівняннями зі змінними, на значення яких впливають параметри управління та наявна структура системи. Отже, траєкторія розвитку системи формується під впливом параметрів, що їх задає статичний блок, а він, у свою чергу, складається з рівнянь, які описують стан рівноваги на основних макроекономічних ринках.

Розглянемо модель Сарджента—Тарновського [12], доволі ком­пактну й порівняно нескладну, що дає змогу скласти цілісне уявлення про поводження макроекономіки. Ця модель складається з рівнянь, що описують: ринок товарів і послуг; грошовий ринок; функції агрегованого попиту та пропозиції;  фіскальну та монетарну політику; динаміку очікувань; нагромадження приватного капіталу.

Ринок товарів і послуг у цій моделі задається рівнянням збалансованості доходів та агрегованих витрат Y, приватних і державних. Сукупний попит складається з приватних D(×) та очікуваних державних витрат G, які в точці рівноваги дорівнюють виробленому продукту.

Характер реакції макроекономіки (приватного попиту) на зміни доходу, реальної процентної ставки та приватного багатства задають знаками перших похідних функції приватного попиту D(×) за відповідними аргументами Dі, і = 1, 2, 3 (наприклад, ). При цьому беруть 0 < D1 < 1, D2 < 0, D3 > 0.

Скажімо, підвищення доходу на одиницю тягне за собою зростання агрегованого приватного попиту менш як на одиницю, передбачаючи в загальному випадку збереження частки доходу. Із підвищенням реальної процентної ставки дорожчає кредит і скорочується приватний попит — звідси знак «мінус» похідної D2.

Дохід — це сума виробленого доходу Y, податків T, доходів від приватного багатства rb та інфляційного податку pA.

У моделі вважають, що приватний сектор, оцінюючи розмір свого доходу, реагує на очікувану, а не на фактичну інфляцію. Приватне багатство А в реальному вимірі подається портфелем, що складається з двох активів: вартості грошей m = M/P, та державних облігацій b = B/P, дефльованих за індексом цін P. Отже, маємо:

        A = m + b.           (8.3)

Рівновага на фінансовому ринку подається співвідношенням між попитом на гроші в реальному виразі L(Y, r, A) та їх пропозицією m = M/P:

        m = L(Y, r, A),  L1 > 0, L2 < 0, L3 > 0.    (8.4)

Згідно зі стандартною моделлю грошового ринку пропозиція грошей в реальному вимірі є параметром управління, хоча її можна розглядати як деяку функцію від процентної ставки, або валютного курсу.

У ринковій економіці пропозицію грошей регулюють, організовуючи дворівневу банківську систему, що складається з цен-трального та комерційних банків. Центральний банк, визначаючи обсяги своїх пасивів (готівки та обов’язкових резервів комерційних банків), безпосередньо регулює лише частину грошової пропозиції — грошову базу H, пов’язану з грошовою масою через грошовий мультиплікатор. Завдяки цьому забезпечується можливість управління грошовою масою.

Центральний банк, здійснюючи монетарну політику, використовує різноманітні інструменти: регулювання процентної ставки, валютного курсу й норми резервування, операції на ринку з державними боргами тощо. Ці інструменти дають змогу центральному банкові регулювати пропозицію грошей.

Зауважимо, попит на гроші L(Y, r, A), як функція від процентної ставки має принципово нелінійний характер. За високої ставки гроші та облігації практично не взаємозамінювані, причому попит на гроші порівняно невеликий і реакція грошового попиту на коливання процентної ставки незначна. Коли процентна ставка невисока гроші та облігації стають майже однаково привабливими засобами.

Функцію агрегованої пропозиції часто замінюють кривою Філіпса.

де p — фактична інфляція; p — інфляційні очікування;  — рівень виробництва відповідно фактичний та потенційний; a — стала, що характеризує чутливість інфляції до змін обсягів виробництва. Отже, крива Філіпса визначає агреговану пропозицію.

У цій моделі вважається, що інфляційні очікування змінюються адаптивно.

У кожний момент часу очікування змінюються пропорційно до відхилення реальної та очікуваної інфляції.

Реальну вартість активів у цій моделі розглядають як суму приростів реальної вартості грошей та державних облігацій.

Миттєві прирости реальної вартості грошей та облігацій подаються рівняннями.

де Mt¢, Вt¢, m¢, bt¢ — перші похідні за часом, що характеризують тем­пи зміни грошової маси та державного боргу.

Держава фінансує свої реальні фактичні витрати G за рахунок податків T. Вона має профінансувати первинний дефіцит P(G – T), а також обслуговувати за ринковою процентною став­кою r державні борги rB, нагромаджені до цього часу. Вико-
нати ці завдання можна за допомогою грошової емісії Mt¢ та запозичень на вільному ринку Вt¢. Отже, для кожного моменту часу має справджуватися рівняння фінансування бюджетного дефіциту.

Аналогічне рівняння фінансування бюджетного дефіциту в реальному вимірі можна дістати підстановкою.

Отже, модель являє собою систему, що складається з семи рів­нянь (8.1)—(8.6) і (8.10) і містить сім невідомих. Ця модель дає змогу відстежувати реакцію макроекономіки на зміну параметрів системи, яка визначається знаками відповідних перших похідних (табл. 8.1).

Таблиця 8.1

Короткострокові макроекономічні ефекти

8.2. Трисекторна модель економіки

Агреговані моделі економіки використовують для аналізу основних тенденцій розвитку економіки протягом тривалого періоду часу: п’яти, десяти, двадцяти років. У таких моделях економіка описується за допомогою невеликої кількості показників. У разі дослідження довгострокових тенденцій розвитку економіки деталізувати модель не має особливого сенсу, оскільки деталізована модель ускладнюється, потребуючи прогнозування значень численних параметрів на довгострокову перспективу, що на практиці важко здійснити.

Справді, коли йдеться про опис економіки країни з урахуванням її багатогалузевої структури, доводиться прогнозувати можливості зміни технології виробництва та відповідні зміни у споживанні сировини й енергії. Тому, будуючи моделі довгострокового аналізу, намагаються використовувати в них щонайменше вихідної інформації.

Розглянемо одну з найбільш агрегованих моделей — узагальнення моделі Солоу, а саме трисекторну модель, в якій виокремлюють [6]: нульовий сектор, що виробляє предмети праці; перший сектор, в якому створюються засоби праці;  другий сектор, в якому виробляються споживчі товари.

До нульового матеріального сектору відносять такі галузі: добувну промисловість, електроенергетику, нафтопереробну галузь, металургію, промислову хімію тощо.

До першого (виробничого) сектору — машинобудівну галузь, металообробку, промислове будівництво.

До другого (споживчого) сектору — переробку сільськогосподарської продукції, легку та харчову промисловість, деревообробку, побутову хімію, пасажирський транспорт, торгівлю предметами споживання, громадський зв’язок тощо.

Виробничі можливості кожного із секторів задаються у вигляді неокласичних виробничих функцій.

де X, K, L — випуск, основні фонди та кількість зайнятих у відповідних секторах.

Стан економіки в моделі Солоу задається ендогенними змінними, до яких належать [6]: Y — валовий внутрішній продукт (ВВП); C — фонд невиробничого споживання; Iі — інвестиції; Lі — кількість зайнятих; Kі — фонди. Окрім цього в моделі застосовуються такі екзогенні змінні: n — річний темп приросту зай-
нятих (–1 < n < 1); mі — частка вибулих протягом року виробничих фондів (0 < m < 1); r — норма нагромадження (частка валових інвестицій у ВВП, 0 < r < 1).

Згідно зі сказаним, використовуючи основні передумови моделі Солоу, можна дістати трисекторну модель:

L = L(0)exp(vt) (кількість зайнятих);

L0 + L1 + L2 = L (розподіл тих, хто працює за секторами);

динаміка продукції:

Y1 = I0 + I1 + I2  (розподіл продукції першого сектору);

Y0 = а0Y0 + а1Y1 + а2Y2  (розподіл продукції матеріального сектору);

де аі — коефіцієнти повних матеріальних витрат за секторами.

У відносних показниках ця модель набирає вигляду:

де qі = Li/L — частка зайнятих у відповідних секторах;
si = Ii/Yi — частка інвестицій в і-й сектор у загальному обсязі
інвестицій;  — продуктивність праці в і-му
секторі.

Останнє рівняння моделі можна подати в іншій формі:

де yi = Yi/L продуктивність і-го сектора, тобто випуск продукції
і-го типу на одного зайнятого в економіці, причому yi = qifi(ki).

В цій моделі параметри а0, а1, а2, m0, m1, m2 ендогенні, що вважаються сталими, а параметри q0, q1, q2, s0, s1, s2 є управляючими.

8.3. Динамічні міжгалузеві балансові моделі

Розглянуті в попередній темі міжгалузеві балансові моделі є статичними, тобто такими, в яких усі залежності стосуються одного й того самого моменту часу. Ці моделі можуть розроблятися лише для окремо взятих періодів, причому в межах таких моделей не встановлюється зв’язок із попередніми чи наступними періодами. Економічна динаміка відображається, таким чином, поза рамками побудованих моделей, що, очевидно, вносить певне спрощення та звужує можливості аналізу.

До таких спрощень насамперед варто віднести те, що у статичних МГБ не аналізуються розподіл, використання та виробнича ефективність інвестицій. Інвестиції винесено зі сфери виробництва до сфери кінцевого використання разом із предметами споживання та невиробничих витрат, тобто включено до кінцевого продукту.

Розглянемо динамічну модель, побудовану як розвиток статичної МГБ, де виробничі капітальні вкладення виокремлюються зі складу кінцевої продукції, досліджується їхня структура і вплив на зростання обсягу виробництва [4, 5]. В основу побудови моделі у вигляді динамічної системи рівнянь покладено математичну залежність між обсягом капітальних вкладень і приростом продукції. Розв’язок системи, як і в разі статичної моделі, приводить до певних рівнів виробництва, але в динамічному варіанті на відміну від статичного ці шукані рівні залежать від обсягів виробництва в попередніх періодах.

Принципову схему квадрантів І і ІІ динамічного міжгалузевого балансу ілюструє табл. 8.2.

Модель містить дві матриці міжгалузевих потоків. Матриця поточних виробничих витрат з елементами xij збігається з відповідною матрицею статичного балансу. Елементи другої матриці ΔФij показують, яку кількість продукції i-ї галузі в поточному періоді j-та галузь спрямовує як виробничі капітальні вкладення у свої основні фонди. Матеріально це виражається у прирості обсягів виробничого устаткування, споруджень, виробничих площ, транспортних засобів тощо в галузях, що споживають відповідну продукцію.

Таблиця 8.2

Принципова схема динамічного балансу

У статичному балансі потоки капіталовкладень не диференцію­ються за галузями-споживачами і подаються загальною вели­чиною у складі кінцевої продукції Yi кожної i-ї галузі. У динамічній схемі кінцевий продукт Yi містить продукцію i-ї галузі, що йде на особисте та суспільне споживання, нагромадження невиробничої сфери, приріст оборотних фондів, незавершеного будів­ництва, на експорт тощо. Отже, сума потоків капіталовкладень і кінцевого продукту Yі¢ динамічної моделі дорівнює кінцевій продукції статичного балансу:

тому рівняння розподілу продукції в динамічному балансі набирає вигляду:

Міжгалузеві потоки поточних витрат, як і у статичній моделі, можна подати через валову продукцію галузей за допомогою коефіцієнтів прямих матеріальних витрат: xij = aijXj.

На відміну від потоків поточних витрат міжгалузеві потоки капітальних вкладень пов’язані не з усім обсягом випуску продукції, а лише з її приростом, який вони зумовлюють. При цьому в наведеній моделі передбачається, що приріст продукції поточного періоду зумовлюється вкладеннями, зробленими в цьому самому періоді. Якщо поточний період позначити через t, то приріст продукції ΔХj дорівнює різниці абсолютних рівнів виробництва в період t і в попередній щодо нього (t – 1)-й період:

Вважаючи, що приріст продукції пропорційний до приросту виробничих фондів, дістаємо:

Розглянемо в останній рівності коефіцієнти пропорційності φij. Оскільки то економічний зміст цих коефіцієнтів полягає в тому, що вони показують, скільки продукції i-ї галузі потрібно вкласти в j-ту галузь, щоб збільшити виробничу потужність j-ї галузі на одиницю продукції. Передбачається, що виробничі потужності використовуються цілком і приріст продукції дорівнює приросту потужності. Коефіцієнти φij називаються коефіцієнтами вкладень, або коефіцієнтами прирісної фондомісткості.

За допомогою коефіцієнтів прямих матеріальних витрат і коефіцієнтів вкладень φij динамічну систему рівнянь можна подати в такому вигляді:

Ця система являє собою систему лінійних різницевих рівнянь
1-го порядку. Її можна звести до звичайної системи лінійних рівнянь, урахувавши, що всі обсяги валової і кінцевої продукції належать деякому періоду t, а приріст валової продукції визначено порівняно з (t – 1)-м періодом.

Нехай нам відомі обсяги валової продукції всіх галузей у попередньому періоді (величини Xj(t–1)) і кінцевий продукт галузей у періоді t. Тоді останні співвідношення являють собою систему n лінійних рівнянь із n невідомими обсягами виробництва t-гo періоду. Отже, розв’язок динамічної системи лінійних рівнянь дає змогу визначити випуск продукції в наступному періоді залежно від рівня, досягнутого в попередньому періоді. Зв’язок між періодами встановлюється через коефіцієнти вкладень φij, що характеризують фондомісткість одиниці приросту продукції.

Остаточно для випадку неперервних змін дістаємо таку систему співвідношень:

Здобуте співвідношення являє собою систему n лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Для її розв’язання окрім матриць коефіцієнтів прямих матеріальних поточ­них витрат і коефіцієнтів капітальних витрат (вкладень) необхідно
знати рівні валового випуску в початковий момент часу t = 0 та закон зміни обсягу кінцевого продукту, тобто вид функцій Yі¢(t). На підставі цих даних, розв’язавши відповідну задачу Коші для системи диференціальних рівнянь, теоретично знайдемо обсяги валового випуску для будь-якого моменту часу. Практично ж більш-менш достовірний опис валових і кінцевих обсягів випуску як функцій часу можна дістати лише для порівняно невеликих проміжків часу.

У динамічній моделі особливу роль відіграють коефіцієнти прирісної фондомісткості φij. Вони утворюють квадратну матрицю n-го порядку:

кожен стовпець якої характеризує для відповідної j-ї галузі розмір та структуру фондів, необхідних для збільшення на одиницю її виробничої потужності (випуску продукції). Матриця коефіцієнтів прирісної фондомісткості дає підстави для подальшого економічного аналізу та планування капітальних вкладень.

У розглянутій динамічній моделі МГБ передбачається, що приріст продукції поточного періоду зумовлений капіталовкладеннями, зробленими в цьому самому періоді. Для порівняно коротких періодів це припущення може виявитися нереальним, оскільки існують відомі, іноді доволі значні відставання в часі (так звані часові лаги) між вкладенням засобів у виробничі фонди і приростом випуску продукції. Моделі, що так чи інакше враховують лаги капітальних вкладень, утворюють особливу групу динамічних моделей міжгалузевого балансу. З-поміж теоретичних моделей цього типу варто виокремити насамперед лінійну динамічну МГБ Леонтьева, в якій капітальні вкладення подаються у вигляді так званого інвестиційного блока у формі Леонтьєва. Математичним узагальненням цієї та низки інших динамічних моделей є динамічна модель у матричній формі Неймана, що ґрунтується на математичній теорії рівномірного пропорційного зростання економіки (магістральна теорія).

Модель Неймана. Раніше було розглянуто трисекторну нелінійну динамічну модель економіки. Коли йдеться про розгляд багатьох галузей, доводиться відмовлятися від нелінійності через численні труднощі, що пов’язані з нею. Проте дослідження навіть лі­нійних динамічних багатогалузевих моделей також становить певні труднощі, хоча й приводить до змістовних економічних висновків.

Модель Неймана є узагальненою моделлю Леонтьєва, оскільки припускає виробництво одного продукту різними способами (у моделі Леонтьєва кожна галузь виробляє один продукт, і жодна інша галузь не може виробляти цей продукт).

У моделі подано n продуктів і m способів їх виробництва, кожний j-й спосіб задається вектором-стовпцем витрат аj і вектором-стовпцем випусків bj у розрахунку на одиницю інтенсивності процесу:

З векторів витрат і випуску утворюються матриці витрат і випуску:

Коефіцієнти витрат аij, і випуску bij невід’ємні. Природно припустити, що для реалізації будь-якого процесу необхідні витрати хоча б одного продукту, тобто для кожного j знайдеться хоча б одне і, таке що aij > 0, і кожен продукт може бути зроблений хоча б одним способом, тобто для кожного i існує деяке j, таке що bij > 0. З цієї умови випливає, що кожний стовпець матриці А та кожен рядок матриці В повинні мати принаймні один додатний елемент.

Інтенсивність процесів має бути також невід’ємною:  j = 1, …, m.

Позначимо через xt вектор-стовпець інтенсивності виробництва:

а через рt — вектор-рядок невід’ємних цін: pt = (p1(t), p2(t), …, pn(t)).

Вектор уt = Аxt — це вектор витрат за заданого вектора інтенсивності процесів xt, а вектор zt = Вxt — вектор випусків.

Модель Неймана описує замкнену економіку в тому сенсі, що для виробництва продукції в наступному виробничому циклі (протягом року t витрачається продукція, виготовлена в попередньому виробничому циклі, тобто протягом року (t – 1)):

при цьому передбачається, що задано початковий вектор запасів Вх0 ≥ 0. Це модель Неймана в натуральній формі.

У рамках моделі Неймана можна ставити і розв’язувати оптимізаційні економічні задачі. Найбільше оптимізаційна задача формулюється так: знайти оптимум лінійної функції стану наприкінці розглянутого періоду:

8.4. Макроеконометричні моделі

Головною метою макроекономічного моделювання є опис кіль­кісних і якісних аспектів економічних явищ та процесів за до-
помогою системи економетричних рівнянь (стохастичних регресійних рівнянь, трендів, балансових співвідношень тощо), що дає змогу на основі ретроспективної інформації аналітично або чисель­но визначити фактори майбутнього економічного розвитку та
з’ясувати наслідки проведення економічної політики.

Будуючи макроеконометричні моделі, намагаються подати основ­ні співвідношення, що визначають розвиток економіки, у структурному вигляді з урахуванням жорстких природних обмежень, які накладаються низкою тотожних співвідношень та пов’язують одну з одною різні групи показників. Коефіцієнти моделей оцінюються за наявними історичними даними, далі рівняння моделей розв’язують­ся на підставі інформації за останній час (ретроспективний прогноз) і, можливо, згідно з певними припущеннями стосовно майбутньої економічної політики та поводження деяких змінних, а потім розроб­ляється, нарешті, низка прогнозів. Остаточний прогноз, як прави-
ло, являє собою компроміс між вихідними даними моделі, з одного боку, і рівнем інтуїції та досвіду дослідника — з другого.

Якщо досліджувані процеси мають доволі тривалу передісторію, характеризуючись певною інерційністю, і до того ж нагромаджено статистичний матеріал, який дає змогу встановлювати закономірності й тенденції їх розвитку, простежуючи взаємозв’язки з іншими явищами, то гіпотеза про майбутній розвиток таких процесів значною мірою може базуватись на аналізі минулого їх перебігу. Що ж до економіки, то їй притаманна певна інерційність розвитку, зумовлена дією таких тривалих факторів, як структура і стан основних фондів, обсяги інвестицій минулих періодів, ступінь стійкості технологічних зв’язків і т. ін. Наслідки грошово-кре­дитної, податкової, митної політики держави також позначаються на економічних тенденціях лише через деякий проміжок часу. Тому для дослідження економічних процесів, особливо в періоди сталого, повільного розвитку, цілком природно застосовувати статистичні, зокрема, економетричні методи.

Будуючи економетричні моделі, взаємозв’язки між змінними та рівняннями визначають на підставі інформації, що узгоджується з економічною теорією, практичним досвідом і має економічний сенс.

У разі побудови макромоделей економіку країни подають у вигляді сукупності взаємозв’язаних блоків або агрегатів (рис. 8.2). Блочний принцип побудови допомагає розкривати й моделювати взаємозв’язки між блоками, краще усвідомлюючи функціонування кожного з них.

Кожний блок описує функціонування певного сектору економіки. При цьому економіку поділяють на монетарний (гроші та ціни) і реальний (виробничий) сектори. Часто виокремлюють блоки зовнішньоекономічної діяльності, формування бюджету, сектору ринку праці тощо [8].

Модель реального сектору містить базові макроекономічні тотожності, на основі яких формуються складові ВВП за різними методами обчислення. Модель складається з двох блоків: блок пропозиції та блок агрегованого попиту. Перший формує вироб­ничу функцію (сума валового внутрішнього продукту й імпорту), що залежить від основних фондів, зайнятості та імпорту кінцевих товарів та послуг і лагових змінних. У блоці присутні функції зай­нятості та основних фондів.

Другий відбиває використання ВВП і формує обсяги кінцевих споживчих витрат домашніх господарств, сектору загального державного управління, валового нагромадження основного капіталу, зміни запасів матеріальних оборотних коштів та експорту товарів і послуг. Обидва зазначені блоки моделі тісно пов’язані зі змінними грошово-кредитного, зовнішньоекономічного секторів, фінансів і споживання. Рівняння та тотожності моделі охоплюють основні макрогалузі національної економіки: промисловість за комплексами — паливно-енергетичним, металургійним, хімічним, будівельних матеріалів, легкої та харчової промисловості; сільське та лісове господарство; будівництво, транспорт та зв’язок, сферу обігу тощо.

Модель сектору споживання та доходів населення визначає функцію споживання, основні види доходів та витрат населення. Приватне споживання (кінцеве споживання домашніх господарств) характеризується динамікою його лагового значення, особистих доходів домашніх господарств, суми заощаджень та індексу інфляції. Розглядаються модельні оцінки адресних субсидій населенню (на оплату житла), особистих грошових доходів домашніх господарств до і після сплати податків, а також особисте споживання, платоспроможний попит, грошова оплата праці (у цілому), середньомісячна заробітна плата зайнятих у народному господарстві, оплата послуг населенням, купівля товарів, обов’язкові платежі та інші доходи та витрати населення.

Модель державного сектору відбиває функцію державного споживання (споживання сектору державного управління), основні види бюджетних надходжень та видатків, їх загальні суми та баланс бюджету. Прогнозування надходжень ґрунтується на наявності зворотних зв’язків між податковими ставками та податковими базами, на взаємозалежності всіх секторів економіки, а також на обчисленні доходів на основі функцій, які будуються для різних видів податків згідно з прогнозними оцінками відповідних баз оподаткування. Це означає, що сума окремих надходжень формується як функція від відповідної ставки податку, податкової бази та змінних, що характеризують ефективність функціонування податкової адміністрації.

Модель зовнішньоекономічного сектору визначає макрозмінні експорту, імпорту та їхніх складових відповідно до стандартів міжнародної класифікації: експорт та імпорт продовольства, сировини й матеріалів, проміжної та кінцевої продукції. Функція загального експорту залежить від динаміки вітчизняного й світового ВВП і паритету дефляторів ВВП та експорту. Загальний імпорт та його агрегатні складові — імпорт послуг, імпорт машин та обладнання, інший імпорт — моделюються під впливом динаміки реального ВВП і співвідношення відповідних дефляторів ВВП та визначених у моделі категорій імпорту.

Модель грошово-кредитного сектору базується на припущенні щодо рівності попиту та пропонування грошей. Вихідними змінними є прогноз грошових агрегатів М1 і М3, грошової бази НБУ залежно від поставлених цілей стосовно зростання ВВП, рівня інфляції та валютного курсу. У моделі виконуються також прог­нозні розрахунки показників грошового ринку, за допомогою яких можна не тільки аналізувати поточну ситуацію та оцінювати можливість застосування тих чи інших інструментів монетарної політики, а й виокремлювати фактори, динаміка яких може вплинути на виконання цільового орієнтиру з економічного зростання: грошового мультиплікатора, швидкості обігу грошей, внутрішнього кредиту, зовнішніх активів тощо.

Оскільки розглянута щойно модель складається більш ніж зі ста рівнянь і тотожностей, то ми не наводимо її специфікації, а лише окреслюємо зміст головних її блоків. Загалом макроеконометричні моделі можуть містити сотні змінних і рівнянь, часто із взаємозалежними змінними, що ускладнює ідентифікацію таких систем.

Завершуючи огляд макроеконометричних моделей, зауважимо, що побудова, ідентифікування та оцінювання таких моделей є доволі складним завданням, до розв’язання якого залучаються цілі наукові організації та інститути (в Україні макроеконометричні моделі розробляють в Інституті економічного прогнозування, Інституті економіки НАН України, Інституті кібернетики ім. В. М. Глушкова тощо).

Контрольні запитання та завдання

Охарактеризуйте відмінності між динамічними та статичними моделями економіки. Який математичний апарат використовують для опису економічної динаміки?

Поясніть основні концептуальні положення моделі Сарджента-Тарновського.

Проаналізуйте таблицю реакції макроекономіки на зміну параметрів системи в моделі Сарджента-Тарновського.

З якою метою використовуються агреговані моделі?

Наведіть основні рівняння трисекторної моделі Солоу та поясність їхній зміст. Проаналізуйте характер прямих і зворотних зв’язків у цій моделі.

Чим відрізняється динамічний МГБ від статичного? Наведіть математичний запис динамічної моделі МГБ та моделі Неймана.

На яких засадах будуються макроеконометричні моделі?

9.1. Роль експериментів у моделюванні економіки

Класичне уявлення про експерименти. Незважаючи на велике значення експерименту в науковому пізнанні, не існує єдиного загальновизнаного визначення відповідного терміна (це саме стосується, як уже зазначалося й інших фундаментальних понять кібернетики — «система», «модель», «інформація», «управ­ління»). Як правило, під експериментом розуміють створення деякого комплексу умов R, в результаті яких можуть відбуватись чи не відбуватись події з деякої заданої множини S. Предметом теорії експерименту є вивчення відображення цієї множини R, яка називається комплексом умов, на множину S подій — результатів експерименту.

Наведемо ще кілька класичних інтуїтивних визначень.

Експеримент (від лат. experimentum — проба, досвід) — науково поставлене випробування, спостереження досліджуваного явища за певних фіксованих умов, завдяки чому його можна відтворити повторенням цих умов.

Експеримент — випробування, дія чи операція, спрямована на виявлення нових фактів або на перевірку гіпотез.

Спинимося на деяких аспектах сучасного розуміння експерименту.

Нині вже усвідомлено той факт, що існують явища, які не піддаються числовому (кількісному) вимірюванню, але які можна фіксувати в «слабких», «якісних» шкалах і ці результати враховувати в моделях, дістаючи якісні, проте цілком обґрунтовані висновки.

Розпливчастість деяких спостережень визнається як їхня не­від’ємна природна властивість, яку можна математично формалізувати за допомогою апарату теорії нечітких множин.

Намагаючись дістати якомога точніші результати вимірювання, дослідник має усвідомлювати, що похибки вимірювання є органічними, неусувними властивостями самого процесу вимірювання. Тому моделі, що перевіряються на практиці, мають не тільки бути гіпотезами про досліджуваний об’єкт, а й ураховувати гіпотези щодо точності вхідної інформації.

Хоча для проведення експерименту необхідна модель відповідного об’єкта, а для уточнення моделі об’єкта необхідний експеримент, тут немає хибного кола: після завершення чергового циклу наступний починається з нової, зміненої моделі. Ми починаємо з найпростішої моделі вхід—вихід («чорної скриньки») і намагаємось побудувати модель «білої скриньки».

Можна виокремити два основні напрямки в теорії планування експериментів: планування екстремальних експериментів та планування експериментів зі з’ясування механізмів явищ.

Завдання екстремального експерименту полягає у визначенні оптимальних значень функції регресії (чи комбінації факторів, за яких функція відгуку набуває екстремальних значень). Методи планування такого експерименту тісно пов’язані з регресійним та факторним аналізом і методами стохастичного програмування.

У плануванні експериментів зі з’ясування механізмів явищ розрізняють: експерименти з перевірки статистичних гіпотез; експерименти, що відсіюють другорядні та незначущі фактори; імітаційні експерименти, які пов’язані з комп’ютерним відтворенням досліджуваного явища. Цей тип експериментів базується на застосуванні методу Монте-Карло.

Особливості проведення експериментів в економіці. При дослідженні відносно простих систем дослідник може з достатнім ступенем точності стабілізувати (зафіксувати) усі незалежні змінні. Потім, по черзі варіюючи деякі з них, можна встановити вигляд функціональної (статистичної) залежності між ними. Що ж до економіки, то варто звернути увагу на такі її особливості як об’єкта моделювання.

1. В економіці неможливі моделі за принципом подібності, широко застосовувані в техніці. Наприклад, у літакобудуванні, гідротехніці часто використовується такий прийом: будується точна копія (макет) системи (у деякому масштабі) і на цій копії відпрацьовуються з необхідним коригуванням усі режими її роботи. Однак такий прийом неприйнятний щодо економіки — не можна побудувати точну копію економіки і на ній відпрацювати різні варіанти економічної політики.
2. В економіці обмежена можливість проведення прямих (активних) експериментів. Прямі експерименти з економікою мають як позитивний, так і негативний бік. Перевага таких експериментів полягає в тому, що практично відразу виявляються короткострокові результати здійснюваної економічної політики, а недолік — в тому, що неможливо безпосередньо передбачати середньо- та довгострокові наслідки прийнятих рішень. Адже передбачати такі наслідки можна лише на основі концептуальних моделей розвитку економіки, що спираються на минулий досвід. Проте прямі експерименти з економікою вкрай небезпечні, оскільки в разі невдалої та неефективної економічної політики вони можуть призвести до стагнації економіки та негативних соціальних наслідків.
3. В економіці можливості «чистих» експериментів вельми обмежені, оскільки економічні системи належать до класу великих складних динамічних систем, в яких існують численні контури прямих і зворотних зв’язків. У таких системах не можна встановити «непроникні перегородки», що розмежовують вплив різних факторів. Такі системи називають «погано організованими», або дифузійними.

З огляду на сказане, досліджуючи економіку будь-якої країни, спираються на її минулий досвід та досвід інших країн. Такий досвід важко переоцінити, але далеко не завжди його можна безпосередньо перенести в умови конкретної економічної ситуації. Проте, зважаючи на вельми обмежену можливість безпосереднього експериментування з усією економікою, вдаються до концептуальних моделей, на яких ґрунтується побудова ЕММ. Адекватність таких моделей встановлюється за допомогою сучасної теорії планування (імітаційних) експериментів.

9.2. Імітаційні експерименти

Під імітацією розуміють дослідження реальних систем засоба­ми комп’ютерних експериментів із їх математичними моделями. В економічних дослідженнях імітаційні моделі використовуються для широкого класу задач — від задач масового обслуговування та оперативного планування виробництва до дослідження тенденцій розвитку галузей, секторів і всієї економіки в цілому.

В імітаційних експериментах економічні закони та взаємозв’язки описуються за допомогою математичних співвідношень. Далі, як і в натурних експериментах, задаються зовнішні впливи, після чого модель «розвивається», функціонує за своїми власними законами, які реалізуються у вигляді алгоритмів та комп’ютерних програм. Дослідник у діалоговому режимі реєструє результати впливу на модель. Отже, при цьому відбувається справжній експеримент, який відрізняється від натурного лише тим, що він виконується з моделлю, а не із самим об’єктом.

Д — дослідник; ЗЕ — засоби експерименту; МО — модель об’єкта;
ТО — теоретичні уявлення про об’єкт; ТМ — теоретичні уявлення
про модель; О — досліджуваний реальний об’єкт

У разі, коли система описується моделлю без урахування випадкових і невизначених чинників, то імітаційні експерименти зводяться до варіантних розрахунків. А якщо в моделі враховано випадкові чинники, то під час імітування їх замінюють послідовністю величин, які в цілому можна інтерпретувати як реалізацію випадкового впливу, розподіл якого визначено при побудові моделі.

Якщо ж існують невизначені впливи, тоді досліджують деякий дискретний спектр їх фіксованих значень та виконують сценарні розрахунки. Такий підхід часто застосовують у економічному прогнозуванні: розглядаючи кілька варіантів зміни невизначених чинників, розробляють кілька сценаріїв майбутнього поводження економічної системи, наприклад оптимістичний, базовий та песимістичний.

Дослідник будує модель згідно з теоретичними уявленнями
про об’єкт, впливає на засоби експерименту, а ті, у свою чергу, впливають на модель об’єкта. Зміни в засобах експерименту спостерігає дослідник, інтерпретуючи їх відповідно до своїх теоретичних уявлень про модель. Результати експерименту дають змогу розширити й уточнити теоретичні уявлення про модель об’єкта, поширивши їх на реальний об’єкт.

9.3. Комп’ютерне моделювання

Традиційно під моделюванням на ЕОМ розумілося лише імітаційне моделювання. Але останніми роками завдяки розвитку графічного інтерфейсу та графічних пакетів значного поширення набуло комп’ютерне структурно-функціональне моделювання, а також розпочалося використання комп’ютера з метою концептуального моделювання, наприклад для побудови систем штучного інтелекту. Отже, поняття «комп’ютерне моделювання» значно ширше за традиційне поняття «моделювання на ЕОМ».

Під комп’ютерною моделлю найчастіше розуміють: умовний образ об’єкта чи деякої системи об’єктів (або процесів), описаних за допомогою взаємозалежних комп’ютерних таблиць, схем, діаграм, графіків, малюнків, анімаційних фрагментів, гіпертекстів і т. ін., що відбивають структуру та взаємозв’язки між елементами об’єкта чи системи. Комп’ютерні моделі такого типу називають структурно-функціональними;  окрему програму, сукупність програм чи програмний комплекс, що дає змогу виконанням послідовності обчислень з подаль­шим графічним відображенням їх результатів відтворювати
(імітувати) процеси функціонування об’єкта (системи об’єктів), що функціонує під впливом різних, як правило випадкових, факторів. Такі моделі називають імітаційними моделями.

Комп’ютерне моделювання — метод розв’язування задачі аналізу або синтезу складної системи, що ґрунтується на використанні її комп’ютерної моделі. Сутність комп’ютерного моделювання полягає у відшуканні кількісних і якісних результатів із залученням наявної моделі. Якісні висновки, зроблені на підставі такого дослідження, дають змогу розкривати невідомі досі властивості складної системи: її структуру, динаміку розвитку, стійкість, цілісність тощо. Кількісні висновки мають переважно характер прогнозу майбутніх чи пояснення минулих значень змінних, що характеризують систему.

Предметом комп’ютерного моделювання може бути економічна діяльність фірми, банку, промислового підприємства; інформаційно-обчислювальна мережа; технологічний процес; будь-який реальний об’єкт чи процес, наприклад процес інфляції, і взагалі — будь-яка складна система. І хоча цілі комп’ютерного моделювання можуть бути різними, найчастіше воно, як уже зазначалося, становить центральну процедуру системного аналізу — сукупності методологічних засобів, що використовуються для підготовки та прий-
няття рішень економічного, організаційного, соціального чи технічного характеру.

Комп’ютерна модель складної системи має якомога повніше відбивати всі основні фактори й взаємозв’язки, що характеризують реальні ситуації, критерії та обмеження. До того ж модель має бути настільки універсальною (щоб охоплювати якнайширше коло близьких за призначенням об’єктів) настільки й простою (щоб сприяти виконанню необхідних досліджень із мінімальними витратами).

Контрольні запитання та завдання

Для чого використовуються експерименти?

Особливості сучасного розуміння експериментів.

Проаналізуйте особливості проведення експериментів в економіці.

Сутність імітаційних експериментів.

Побудуйте схему проведення імітаційного експерименту та поясність основні його етапи.

Дайте визначення терміна «комп’ютерна модель».

Список додаткової літератури до розділу 3

Браверман Э. М. Математические модели планирования и управления в экономических системах. — М.: Наука, 1976. — 368 с.

Вітлінський В. В. Моделювання економіки: Навч. посібник. — К.: КНЕУ, 2003. — 408 с.

Геєць В., Скрипниченко М., Соколик М., Шумська С. Секторальні макромоделі прогнозування економіки України // Економіст. — 1998. — № 5. — С. 58—67.

Гранберг А. Г. Математические модели социалистической экономики: Учеб. пособие для экон. вузов и фак. — М.: Экономика, 1978. — 351 с.

Иванилов Ю. П., Лотов А. М. Математические модели в экономике. — М.: Наука, 1979. — 304 с.

Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 240 с.

Математическое моделирование макроэкономических процессов. — Учеб. пособие / Под ред. проф. И. В. Котова — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. — 232 с.

Методологічні аспекти розробки та практичного застосування макроеконометричних моделей (на прикладі України) / К. Султан, І. Лук’яненко, Ю. Городніченко. — К.: Видавничий дім «КМ Академія», 2000. — 204 с.

Моисеев Н. Н. Математические модели системного анализа. — М.: Наука, 1981. — 488 с.

Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970. — 708 с.

Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. — М.: Энергоатомиздат, 1996. — 544 с.

Смирнов А. Д. Лекции по макроэкономическому моделированию: Учеб. пособие. — М.: ГУ ВШЭ, 2000. — 351 с.

Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. — М.: Высш. шк., 2001. — 343 с.

Таха Х. Введение в исследование операций: В 2 кн.: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.

Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. — 367 с.

Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. В. В. Федосеева — М.: ЮНИТИ, 1999. — 391 с.

10.1. Сутність процесів управління

Загалом процес управління полягає у здійсненні цілеспрямованого впливу на систему з метою досягнення нею бажаного (з погляду керуючого пристрою) стану. Основою управління є процес прийняття рішень.

Як об’єкт управління можна розглядати окремий технічний прилад, механізм або машину, живий організм або його частину, працівника або бригаду, цех або підприємство, військовий підрозділ або театральний колектив, галузь народного господарства, економіку в цілому тощо. Саме спільність принципів управління такими різнохарактерними об’єктами дала змогу Н. Вінеру визначити кібернетику як науку про управління і зв’язок в механізмах, живих організмах і суспільстві.

Коли йдеться про вивчення систем з погляду управління, першорядного значення набувають взаємні зв’язки між їхніми елементами та підсистемами. Якщо на підсистему здійснюється керуючий вплив, то таку систему називають керованою системою, або об’єктом управління (ОУ). А підсистему, що здійснює керуючий вплив, — системою управління (СУ).

Що ж дає підставу порівнювати процеси управління в численних якісно відмінних між собою системах? Для встановлення потрібних аналогій розглянемо найпростішу структурну схему управління (рис. 10.1), яка складається принаймні з двох основних частин: керуючого органу та об’єкта управління.

Нехай ідеться про управління деяким економічним чи технічним об’єктом, здійснюване особою — керівником (директор, менеджер, оператор, водій).

Вплив на ОУ може здійснюватись механічно (за допомогою важелів, тяги тощо; електричними сигналами); у вигляді усних чи письмових розпоряджень виконавцям (якщо об’єктами управління виступають люди або колективи людей). При цьому такі розпорядження можуть передаватися як безпосередньо голосом, так і письмово або за допомогою засобів телекомунікацій (телефоном, факсом, електронною поштою тощо).

Уся сукупність зазначених керуючих впливів (наказів, команд, розпоряджень, вказівок і т. ін.) називається керуючою інформацією (керуючими впливами). Така інформація відповідно до заданої програми управління передається об’єктові управління по каналу зв’язку, який можна умовно визначити як канал прямого зв’язку.

Проте сам факт отримання об’єктом управління належної керуючої інформації далеко не завжди гарантує правильне функціону­вання цього об’єкта згідно з розробленими планами та програмою управління, бо існують чинники (внутрішні властивості об’єкта, вплив на нього зовнішнього середовища), що стають тут на заваді. Сукупність таких чинників називають збуренням. Прикладом збурень може бути не залежна від керуючої системи зміна параметрів керованого об’єкта, вихід із ладу вузлів СУ, зміна умов зовнішнього середовища тощо.

При цьому ті чи ті причини не можна точно передбачити, розробляючи програму управління. Отже, доводиться коригувати функціонування об’єкта управління.

Щоб таке коригування з боку керівника було справді раціональ­ним, він має регулярно отримувати відомості про фактичний
стан і функціонування об’єкта управління. Такі відомості (пові-
домлювальна інформація) у системі управління надходять від об’єкта управління до керуючого органу каналом зворотного зв’язку.

Те саме відбувається і в разі управління технічними об’єкта­ми. Скажімо, водій автомобіля, що рухається навіть по абсолютно прямій дорозі, має безперервно коригувати кермом напрям руху, який постійно відхиляється від заданого.

Управління у високоорганізованих живих організмах здійснюється за цією самою структурною схемою. Роль керуючого органу тоді відіграє центральна нервова система (головний і спинний мозок). Вона реалізовує закладену генетично програму управління, яка водночас змінюється внаслідок навчання та адаптації. Об’єктами управління при цьому є всі органи живого організму, а каналами зв’язку — нервова система.

Отже, структура схеми управління в системах різної природи (технічних, біологічних, економічних, соціальних) багато в чому спільна. Водночас математичні моделі, за допомогою яких описуються процеси управління в різнорідних системах, значною мірою подібні між собою.

Підбиваючи підсумки сказаного, сформулюємо стисло сутність управління.

Управління полягає в тому, що керуючий орган виробляє інфор­мацію, що відповідає програмі управління, передає її до об’єкта управління, а далі дістає та аналізує здобуту від нього повідомлювальну інформацію про його фактичне поводження. Після цього залежно від результатів аналізу інформації про стан ОУ відбувається коригування або вироблення нової керуючої інформації з метою оптимізації функціонування ОУ.

0.2. Умови існування управління в системах

З усього щойно сказаного випливають розглянуті далі вимоги до ОУ та СУ:

ОУ повинен мати здатність переходити до різних станів. Такий перехід можна розуміти не тільки як переміщення у фізичному просторі, зміну швидкості або напряму (траєкторії) руху, а й як зміну будь-яких властивостей.

Практично завжди можна виокремити деякі параметри, кількісні значення яких характеризують стан системи в кожний момент часу. Для фізичного об’єкта це маса, геометричні розміри, температура, швидкість, колір; для підприємства — кількість працюючих, випуск продукції за кожним із найменувань, собівартість, прибуток та інші показники; для економіки як системи — це ВВП, стан платіжного та торговельного балансу, рівень інфляції та безробіття, валютний курс, процентні ставки та грошові агрегати тощо.

У кожному конкретному випадку, подавши перелік параметрів, які в деякому сенсі повно характеризують ОУ, ми визначаємо багатовимірний простір станів, в яких може перебувати система.

Будь-який стан системи характеризується набором кількісних значень кожного із зазначених параметрів і у просторі станів відображується деякою так званою відображувальною точкою. Змінам станів системи відповідає переміщення відображувальної точки у просторі станів. Задавши межі можливих значень кожного з незалежних параметрів системи, визначають область простору станів, в якій може перебувати відображувальна точка області допустимих станів.

Простір області станів може бути неперервним (температура, швидкість і т. ін.) або дискретним (кількість робітників, валютний курс тощо). Кількість вимірів простору станів дорівнює кількості незалежних параметрів, що визначають стан системи.

Управління полягає в такому впливі на ОУ, щоб він переходив з одного стану до іншого. При цьому відображувальна точка рухається в області допустимих станів. Якщо стан системи жорстко зафіксований, то поняття управління втрачає сенс.

СУ має бути реально здатною змінювати стан ОУ відповідно до прийнятих рішень. У загальному випадку рішення видаються у вигляді керуючих впливів, що надходять до виконавчих органів, які й змінюють стан керованої системи. Коли рішення, що їх приймає система управління, дуже мало впливають на зміну стану ОУ, то управління фактично не відбувається.

Будь-яке управління має бути низкою цілеспрямованих (невипадкових), пов’язаних між собою керуючих впливів. Це означає, що має бути відома мета управління, тобто деякий кінцевий стан системи, що характеризується певним набором кількісних значень параметрів, які потрібно забезпечити на стадії розгляду управ-
ління. У просторі станів мета подається точкою, куди має бути переведено систему з того стану, в якому вона перебуває в даний момент. Якщо мета управління невідома, управління системою не має сенсу. Рух системи, що не має кінцевої мети, перетворюється на безладне блукання.

Система управління повинна мати змогу вибирати рішення з деякого набору можливих рішень. В умовах жорстких обмежень найбільш ефективні рішення часто залишаються за межами допустимої області. Якщо керуюча система має лише єдине можливе рішення, тобто позбавлена можливості вибору, то вона фактично не здійснює управління.

Система управління повинна мати у своєму розпорядженні матеріальні, фінансові, трудові, інформаційні та інші ресурси, що забезпечують реалізацію вибраних керуючих впливів. За відсутності таких ресурсів вона не має змоги рухатися вибраною траєкторією, тобто позбавлена свободи вибору. Управління без ресурсів, що забезпечують реалізацію керуючих впливів, неможливе.

Для правильного вибору характеру і міри керуючих впливів СУ повинна знати не тільки мету та кінцевий стан, якого потрібно досягти, а й поточний стан ОУ, в якому він перебуває в даний момент. Тільки тоді СУ може вибрати правильний шлях або траєкторію руху системи та прийняти рішення, що спрямовують цим шляхом. За відсутності інформації про стан керованої системи процес управління стає неможливим або, щонайменше, неефективним.

ОУ перебуває під впливом не лише системи управління, а й зовнішнього середовища, на яке ОУ і сам певною мірою впливає. Через наявність взаємозв’язків між всіма об’єктами, явищами й процесами у природі рух ОУ (або відповідної точки в просторі станів) відбувається під впливом як керуючих впливів системи управління, так і зовнішнього середовища. Ці впливи можуть відхиляти рух системи від обраної траєкторії. Природно, що чим докладніше вивчено реакцію системи на зовнішні впливи і чим повнішою є інформація про самі зовнішні впливи, тим ефективнішими можуть бути вибрані керуючі впливи. За відсутності інформації про зовнішнє середовище та поводження керованої системи під його впливом знижується ефективність управління.

10.3. Закон необхідної різноманітності в системах управління

Спинимося докладніше на принципі необхідної різноманітності Ешбі, про який ішлося раніше. З’ясуємо передусім обмеження, що їх накладає цей принцип на ОУ. Щоб оцінити якість управління, якої в принципі можна досягти, розглянемо систему управління як своєрідну систему передавання інформації.

Отже, розглянемо об’єкт управління, що характеризується вихідною величиною Y, який перебуває під дією збурень М, і ке­руючий пристрій, що чинить на об’єкт керуючий вплив X. Нехай у системі реалізовано найпростіший тип управління — стабілізацію, тобто підтримку Y на незмінному рівні Y0. Якість управління в такому разі можна оцінювати мірою невизначеності Н(Y) керованої величини Y. Якщо управління ідеальне, тобто Y = Y0 за будь-яких збурювальних впливів, то міра невизначеності Н(Y) = 0. Але під дією випадкових збурень М величина Y флуктує, випадково відхиляючись від її заданого значення. У цьому разі її ентропія не дорівнює нулю: Н(Y) = Н(Y/М) ¹ 0.

Завдання управління — зменшити різноманітність ОУ, а в ідеальному випадку звести множину всіх її можливих станів, що визначаються впливом середовища або дією внутрішніх факторів, до заданого стану. Тоді керуючий пристрій зменшуватиме невизначеність вихідних станів керованого об’єкта. У разі дії керуючих впливів X ця невизначеність дорівнює умовній ентропії X за наявності сигналу Х, тобто Н (Y/X), причому Н(Y/X) = Н(Y).

Міра зменшення невизначеності стану системи визначається величиною

H(Y) – H(Y/X) = І(Y, X),

тобто кількістю інформації у величині X про величину Y.

Щоб забезпечити таке зменшення різноманітності, керуючий пристрій повинен мати у своєму розпорядженні достатню різнома­нітність керуючих впливів згідно зі співвідношенням Н(Y) ³ І(Y, X).

З останніх двох формул випливає, що невизначеність величини Y за наявності управління задовольняє таку нерівність:

H(Y/X) ³ H(Y) – H(X).

Ця нерівність виражає граничні можливості управління. Рівність може досягатися лише тоді, коли керуючий вплив X однозначно визначається значенням керованої величини Y. Інакше кажучи, тільки в тому разі, коли керуюча система точно визначає відхилення величини Y під дією збурень М і абсолютно точно й однозначно виробляє потрібний коригувальний сигнал.

Проте на практиці ні самі випадкові збурення, ні їхні зв’язки зі зміною величини Y не можна врахувати достатньо вичерпно. Крім того, не можна абсолютно точно виміряти значення Y поточного стану, яке й визначає керуючий вплив у замкнених системах управління.

Оскільки керуючий пристрій сам перебуває під дією випадкових впливів, то сигнал X може відрізнятися від справді необхідного сигналу корекції. Все це призводить до відсутності однозначного зв’язку між значеннями величини Y і керуючого сигналу X. Іншими словами, умовна ентропія Н(X/Y) не дорівнює нулю. При цьому кількість інформації у величині Y відносно X дорівнює різниці між безумовною та умовною ентропією:

І(Y, X) = H(X) – H(Y/X).

З теорії інформації відомо, що І(Y, X) = І(X, Y), або H(Y) –
– H(Y/X) = H(X) – H(Х/Y). Звідси невизначеність величини Y за наявності управління визначається співвідношенням:

H(Y/X) = H(Y) – H(X) + H(Х/Y).

Цей вираз показує, що для підвищення якості управління, тобто зменшення різноманітності H(Y/X), необхідно збільшувати різноманітність керуючих впливів H(X), прагнучи досягнути величини H(Y). Інакше кажучи, на кожне відхилення величини Y треба мати «в запасі» відповідний сигнал корекції X і застосовувати його настільки часто, наскільки часто трапляється дане значення Y. Окрім цього, необхідно ще забезпечити максимальну адекватність керуючого впливу відхиленню керованої величини.

Отже, необхідно намагатися обирати саме такий керуючий вплив X, який дає змогу виправити відхилення величини Y. Це означає, що треба прагнути зменшити неоднозначність керуючого сигналу, тобто величини Н(X/Y). Для цього, можливо, необхідно мати більш точну та всебічну інформацію про ОУ і СУ, а також про збурення, що впливають на них.

Ці вимоги до здатності системи управління робити вибір становлять сутність сформульованого Ешбі закону необхідної різно­манітності. Основна його теза така: обмеження різноманітності в поводженні об’єкта управління досягається тільки за рахунок збільшення різноманітності системи управління. «Тільки різноманітність може знищити різноманітність». Або, іншими словами, для ефективного управління різноманіття СУ має бути не менше за різноманіття ОУ. Тому ступінь складності СУ має відповідати ступеню складності ОУ.

Часто можливості управління обмежуються швидкістю передавання інформації по каналах прямого і зворотного зв’язку.

Загалом питання про граничні можливості управління в тих або тих умовах ще не знайшло свого вичерпного розв’язання. Що ж до закону необхідної різноманітності, то він як інтерпретація одного з основних результатів теорії інформації, що справджується для деяких технічних систем, має фундаментальне значення і для інших складних систем, таких як біологічні, економічні, соціальні тощо. І хоча кількісну оцінку необхідної різноманітності для таких систем дістати важко, усе ж урахування цього закону на якісному рівні дає певний ефект. Стосовно економіки цей закон зумовлює необхідність ускладнення системи управління, зокрема за рахунок вдосконалення засобів з переробки інформації та прий-
няття рішень.

Якщо розглядати економіку на макрорівні, то органи державного управління виступають як СУ, а окремі галузі, підприємства, фірми — як ОУ. Під збуреннями зовнішнього середовища природ­но розуміти різноманітність як можливих економічних ситуацій, так і неекономічних чинників. Можливості переробки інформації та вироблення рішень у СУ обмежені і не забезпечують необхідної різноманітності. З огляду на це потрібна певна самостійність окремих економічних об’єктів. Правильне оцінювання різноманітності керованої системи за наявності збурень та об’єктивної пропускної здатності керуючих органів є необхідною умовою визначення міри господарської самостійності підприємств на кожному етапі економічного розвитку.

10.4. Типи управління

Залежно від того, чи використовуються для вироблення керуючих впливів інформація про стан керованого об’єкта, системи управління поділяються на замкнені (зі зворотним зв’язком) і розімкнені. У розімкненій системі управління від СУ до ОУ надходять сигнали у вигляді керуючих впливів. Від керованого об’єкта жодних сигналів не надходить, тоді як керуюча система, керований об’єкт та лінії зв’язку зазнають збурювальних впливів.

Програмне управління. На керуючих впливах не позначаються фактичний перебіг керованого процесу та стан навколишнього середовища. У розімкнених системах управління використовують методи так званого управління за жорсткою програмою — жорстке або програмне управління, а також методи, що ґрунтуються на усуненні впливу обурень на керований об’єкт або на компенсуванні їхньої дії.

У разі застосування методу управління за жорсткою програмою СУ виробляє керуючі впливи без урахування інформації про стан керованого об’єкта і збурювальних впливів, тобто керуючі впливи для забезпечення відповідного стану ОУ визначаються заздалегідь.

Прикладом розімкненої системи, що працює за жорсткою програмою, є світлофор-автомат, який керує рухом на перехресті за заздалегідь заданою програмою. Секції світлофора перемикаються через встановлені проміжки часу незалежно від кількості автотранспорту.

Метод управління за жорсткою програмою найчастіше застосовується в системах, де вплив збурювальних впливів незначний, передусім — у простих технічних системах.

Метод компенсації збурень. Згідно саме з цим методом діє система управління температурою повітря у приміщенні. Роль СУ тут відіграє система управління подаванням теплоти. Збурювальні впливи — це зміни температури в зовнішньому середовищі. За жорсткого управління система подає в опалювальні прилади теплоту, регулюючи її кількість за часом доби (температурою зовніш­нього середовища). Однак зміна температури останнього відбувається фактично інакше, ніж передбачалося при встановленні такого режиму. Через це кількість теплоти, що подається, буде іноді недостатньою, а іноді — надмірною.

Як ще один приклад застосування методу компенсації збурень розглянемо управління збутом продукції підприємства. Збут продукції підприємства визначається в кожний період часу кон’юнк­турою попиту на окремі види продукції. Якщо на підприємстві належно стежать за кон’юнктурою попиту, то зміни в попиті мають якомога швидше позначатись на асортименті та обсягах виробництва продукції. Отже, керівництво підприємства (СУ), здійсню­ючи керуючий вплив, визначає кіль­кість, якість, асортимент продукції та план збуту, тоді як збу-
рювальним впливом є зміна кон’юнктури попиту та місткість ринку.

У разі управління з компенсацією збурень необхідний чутливий елемент, що сприймає наявність збурення та вимірює його. Коли йдеться, скажімо, про управління температурою повітря у приміщенні, таким чутливим елементом може бути термометр, а стосовно підприємства — відділ маркетингу.

Проте метод управління, що ґрунтується на компенсації збурень, також має певні недоліки. Основним з них є те, що компенсується дія кожного конкретного збурення окремо. У реальному житті джерела збурювальних впливів можуть бути настільки різноманітними, що їх не завжди можна передбачити.

Компенсувати дію збурень у системах управління можна двома різними способами. Перший спосіб ми вже розглянули. Він полягає у виробленні керуючих впливів, спрямованих на зміну параметрів керованого об’єкта, наприклад температури повітря у приміщенні або обсягів виробництва.

Другий спосіб компенсації збурень полягає в безпосередньому впливі на збурення. Так, великі корпорації можуть самі відчутно впливати на ринкову кон’юнктуру, лобіювати прийняття сприятливих для себе законів, вживати заходів щодо нейтралізації дій конкурентів і т. ін., тобто активно впливати на зовнішнє середовище з метою компенсації збурень. Таким чином, за безпосереднього впливу на збурення їхній вплив на керований об’єкт знижується або усувається повністю.

Незважаючи на наявність у розімкнених систем серйозних недоліків, вони доволі широко застосовуються. Це пояснюється певною мірою тим, що в розімкнених системах із компенсацією дії збурень зміна керуючих впливів може бути здійснена ще до того, як збурювальні впливи змінять стан ОУ, завдяки чому підвищується точність виконання ним своїх функцій. Але такий тип управління застосовується здебільшого для технічних систем.

Управління в замкнених системах. У замкненій СУ крім сиг­налів керуючої системи до керованого об’єкта до СУ надходять
сигнали, що містять інформацію про стан ОУ — сигнали зворотного зв’язку. Як і в розімкнених системах, на замкнену систему управління впливають збурювальні впливи, причому їхній вплив поширюється на ОУ, СУ та лінії зв’язку.

Якщо збурювальні впливи різнорідні та численні, то їх компенсувати важко. У таких випадках використовують метод управління, в якому керуючі впливи виробляються з урахуванням змін стану ОУ.

За такого типу управління СУ з урахуванням стану зовнішнього середовища та цілей управління визначає необхідний стан ОУ. Інформація про фактичний стан ОУ надходить по каналах зворотного зв’язку до спеціального органу, що порівнює ці стани. У разі незбігу бажаного та фактичного станів ОУ виробляються керуючі впливи, які мають скоригувати його поводження. У зам­кнених СУ, як правило, не аналізується причина, з якої поводження ОУ відрізняється від бажаного. Тут важливий лише сам факт відмінності в поводженні. Такий тип управління називається регулюванням.

Регулювання — це процес, спрямований на досягнення та підтримку параметрів функціонування системи в заданому діапазоні. Необхідно розрізняти регулювання та управління. У процесі управ­ління вплив на систему (ОУ) має на меті не тільки забезпечити її нормальне функціонування, а й поліпшити це функціонування, сприяти розвитку системи (можливо, за рахунок зміни її параметрів, структури, складу тощо). А регулювання має забезпечувати стійкість стану або поводження ОУ.

До найпоширеніших типів регулювання належать: регулювання вирівнюванням (стабілізацією) збурень; регулювання стеженням; адаптивне регулювання.

Метою стабілізації є підтримка заданого рівня вихідного стану ОУ. Прикладом системи стабілізації є система підтримання в людини температури тіла, артеріального тиску, складу крові під час змін зовнішніх умов або підтримання напруги та частоти струму в електромережах у певному діапазоні, незважаючи на навантаження на мережу. Управління виробництвом може мати на меті підтримку постійної інтенсивності випуску продукції. Інформація про фактичний та плановий випуск каналами зворотного зв’язку передається в СУ, яка приймає рішення щодо усунення відхилення.

Замкнені системи, в яких задавальним впливом є функція певних параметрів, які, у свою чергу, залежать від стану системи, називаються замкненими системами з програмним управлінням.

Системи стеження призначені для зміни стану ОУ за деяким невідомим законом, що визначається під час реалізації самого процесу відповідно до певного зовнішнього сигналу. Такі задачі виникають, зокрема, під час управління запасами.

Перелічені типи систем управління не вичерпують усього їх роз­маїття. Існують системи, в яких діють кілька задавальних впливів різного типу. Якщо вважати, що кожному задавальному впливові відповідає свій контур управління, то системи з кількома задаваль­ними впливами є багатоконтурними системами управління. Керуючі впливи кожного контуру управління можуть впливати на реакцію ОУ та на керуючі впливи в інших контурах управління.

Методи управління, що ґрунтуються на використанні зворотного зв’язку, широко застосовуються як у системах управління технічними об’єктами, так і в соціально-економічних системах. Недоліком замкнених систем управління є наявність деякого неусувного від­хилення фактичного стану керованого від необхідного, оскільки тільки поява відхилення є сигналом для вироблення відповідних керуючих впливів.

10.5. Принципи управління складними системами

Управління складними системами принципово відрізняється від оптимального (програмного) управління, тобто переведення системи до бажаного стану деяким оптимальним шляхом. Це
пояснюється тим, що поводження складних систем важко спрогнозувати, а визначити й тим більше «нав’язати» системі «оптимальний» шлях переходу до бажаного стану практично неможливо. Тому управління складними системами за змістом та механізмом дії найближче до фізіологічних процесів збудження і гальмування, тобто зовнішнього і внутрішнього стимулювання.

Прямі і зворотні зв’язки, усі види та форми впливів — це не більш ніж стимули, які збуджують або гальмують процеси, що відбуваються в системі. Тому проблема управління складними системами полягає в дослідженні впливу цих стимулів на поводження системи та кінцевий результат, а також у застосуванні цих стимулів для досягнення бажаної ефективності функціонування системи. За зміною рівня стимулу та стану системи збудження може перейти в гальмування та навпаки. Управління має досягатись ціною порівняно незначного енергетичного ресурсу. Типовим при цьому є інформаційне управління, під час якого енергоресурс управління є незначним відносно енергоресурсу самої системи. Необхідно також враховувати, що складні системи окрім великого енергоресурсу мають також значну динамічну інерційність.

У загальному випадку формальну математичну постановку задачі управління складними системами можна подати так:

де Y — вихід системи; х(t, tx) Ì X — вплив середовища; Fi, , — відомі функції; u(t, tu) Ì U — множина можливих та допустимих управлінь; tu, tx, di — запізнення.

Необхідно знайти управління , що забезпечує високу ефективність системи. Реальна можливість управління полягає в тому, щоб, впливаючи на процеси в системі, стимулювати їх у напрямку певної орієнтації на поводження системи, близьке до бажаного.

Зауважимо, що ступінь впливу функцій, які входять до виразу Ф(×), неоднаковий для систем різних класів: Y(t) — характеризує стан виходів системи в початковий момент управління; Y(t – t) — поводження системи на інтервалі, що передує управлінню (передісторія системи),  , — множина, яка визначає типові властивості системи, її здатність до управління та внутрішні тенденції, відносно стабільний тип її поводження та керованості, внутрішню мотивацію тощо.

Розглянемо частинні випадки.

Функція Ф така, що впливt на  порівняно незначний. У цьому разі  Якщо функція Ф лінійна і х = 0, tu = 0, дістаємо:

Це задача програмного управління, характерна для технічних систем. Якщо х ¹ 0, то

Це управління в умовах спільної дії або протидії.

У разі, коли f(t) = 0, маємо:

де x — деяка випадкова функція. Це стохастичне управління.

Функція Ф слабо залежить від Тоді

Маємо управління, що не спирається на мотивацію, а істотно залежить від ситуації на інтервалі [t – t, t]. Це ситуаційне управління. Задачі ситуаційного управління характерні для виробничих систем.

Функція Ф лінійна і від часу безпосередньо не залежить. Тоді

Цей випадок характерний для нейтрального середовища. Досягти високої ефективності можна лише пристосуванням властивостей системи, що склалася на інтервалі (–¥; t – t], до ситуації, що склалися на інтервалі (t – t; t], тобто адаптуванням системи за рахунок управління. Цей тип управління називається адаптивним. Воно використовується тоді, коли минулі тенденції в поводженні системи не дуже впливові (коли їх можна змінити протягом короткого інтервалу часу).

Функція Ф залежить від часу:

У такому разі управління має впливати на внутрішню мотивацію системи, а це можливо тоді, коли ця мотивація хоча б частково відома.

Розглянемо управління, що змінює властивості (поводження, структуру) системи:

У результаті управління u* на інтервалі (t – t; t] функція Ф змінюється на Ф*, Fi — на Fi*, тобто перетворюється структура системи. Це процес формування нової, перебудованої системи, яка починає функціонувати в момент часу t.

Ця перебудова може відбуватись як під впливом внутрішніх факторів (самоорганізація), так і за рахунок зовнішніх впливів (організація) (випадкових чи детермінованих — деякої внутріш­ньої або зовнішньої програми). У новій системі мотивація нагромаджується на інтервалі (t – t; t] і діє нове управління u(t, tu).

Управління самоорганізацією (організацією) полягає в поділі старої системи до рівня підсистем та компонентів, які необхідні для нової системи; створенні нової структури системи; підготовці системи до сприйняття управління u(t, tu); нейтралізації в можливих межах несприятливих (зокрема, таких, що заважають процесам самоорганізації) впливів середовища.

Контрольні запитання та завдання

Наведіть найпростішу структурну схему управління та поясність сутність і призначення каналу зворотного зв’язку.

Сформулюйте основні вимоги до СУ та ОУ.

У чому полягає сутність закону необхідної різноманітності Ешбі для СУ?

У чому полягає відмінність між замкненими та розімкненими СУ?

Наведіть приклади різних типів управління у природних, технічних та соціально-економічних системах.

У чому полягають особливості управління у складних системах?

11.1. Регулятори зворотного зв’язку

Під автоматичним регулюванням розуміють управління штуч­ними системами, здійснюване без безпосередньої участі людини. Проте за такого типу управління людина може входити до контуру управління, виконуючи координаційні функції диспетчера або оператора за допомогою сучасних засобів обробки інформації.

Розглянемо найпростішу модель автоматичного регулювання, що складається з двох систем — об’єкта регулювання S і регулятора R . Ця система регулювання пов’язана з навколишнім середовищем тільки за допомогою входів і виходів і є порівняно відособленою системою. Якщо система має один вхід і один вихід, то їхній стан у кожний момент часу можна позначити відповідно x Î X, y Î Y. Це можуть бути як скалярні, так і векторні величини.

У наведеній схемі процес регулювання ґрунтується на використанні зворотного зв’язку: регульована система S впливає на регулятор R, а він, у свою чергу, впливає на регульовану систему.

Схема автоматичного регулювання являє собою замкнене кільце, яке називається контуром регулювання. Коли разом із замкненим контуром розглядається і задавальний блок, який не входить у замкнений ланцюг, але коригує параметри регулювання, то говорять про управління. Отже, поняття управління, як уже зазначалося, ширше за поняття регулювання.

Розглянемо алгоритм функціонування системи автоматичного регулювання. У системі S відбувається перетворення вхідної величини x на вихідну величину y. Позначимо оператор цього перетворення через S: y = Sx.

Стан виходу Y регульованої системи подається на вхід регулятора R, що перетворює його на стан свого виходу Dx. Позначивши через R оператор перетворення, здійснюваного в регуляторі, дістанемо Dx = Ry. Стан виходу регулятора додається до значення стану входу x системи S. Остаточно стан входу системи S буде x + Dx. Отже, відхилення на вході системи S залежатимуть від стану її виходу y.

Нехай задача регулювання полягає у стабілізації вихідної величини системи. Позначимо через y0 бажаний стан виходу регульованої системи. Відповідне настроювання регулятора R полягає в тому, щоб величина Dx викликала вирівнювання відхилення стану виходу y від заданого значення y0 і в такий спосіб наближала стан виходу системи до заданого, тобто до y = y0.

Припустимо, що оператори перетворень, здійснюваних системою S та регулятором, є операторами пропорційності. Тоді у перетвореннях y = Sx і Dx = Ry символи S і R будуть числами — коефіцієнтами пропорційності. Якщо R < 1, то регулятор послаблюватиме сигнал, а якщо R > 1, то підсилюватиме. У разі, якщо величини y і x є скалярами, S = y / x і R = Dx / y називаються відповідно пропускною здатністю системи і регулятора.

Отже, додавши поправку Dx = Ry на вхід системи, дістанемо такий остаточний стан виходу регульованої системи.

Звідси випливає основна формула теорії автоматичного регулювання:

Співмножник (1 / 1 – SR) відбиває зворотний зв’язок у системі регулювання і називається мультиплікатором. Вираз (S / 1 – SR) називають пропускною здатністю системи регулювання.

Іноді формулу регулювання наводять у такому вигляді:

Пропускна здатність регулятора R позначається тоді зі знаком «мінус» для того, щоб звернути увагу на протилежний напрям зв’язку регулятора із системою. Крім того, у системах автоматичного регулювання використовується від’ємний зворотний зв’язок.

Отже, формула теорії регулювання відбиває зв’язок між станом виходу і входу регульованої системи з урахуванням поправки, що її вводить регулятор R. Ця формула дає змогу визначити, яким має бути стан входу (рівень настроювання), щоб при даних значеннях S і R можна було дістати бажаний результат.

Економічна інтерпретація основної формули теорії автоматичного управління (ТАУ). Розглянемо як приклад мультиплікатор Кейнса. Можна побачити, що мультиплікатор зворотного зв’язку (1 / 1 – SR) за своїм виглядом нагадує мультиплікатор Кейнса. Покажемо, що мультиплікатор Кейнса і справді можна розглядати як особливий випадок мультиплікатора зворотного зв’язку.

Згідно з кейнсіанською теорією національний дохід Y розглядається як загальна сума чистих (після відшкодування зносу засобів виробництва) виплат в економіці та складається з двох доданків: виплат А, призначених на інвестиції, та виплат С, що йдуть на закупівлю споживчих благ. Другий доданок вважається лінійною функцією від національного доходу, тобто С = сY, де c — коефіцієнт споживання, який задовольняє умову 0 < с < 1. Це означає, що не весь національний дохід витрачається на споживання..

Подібність між основною формулою теорії регулювання та цією формулою дає підстави для іншого тлумачення мультиплікатора Кейнса.

Нехай маємо деяку систему, в яку здійснюють певні капіталовкладення — їх називають незалежними або автономними капіталовкладеннями — що вимірюються величиною х = А. Пропускна здатність цієї системи становить S = 1. Це означає, що капіталовкладення A тягнуть за собою витрати, що їм дорівнюють. Ця система має зворотний зв’язок із регулятором, пропускна здатність якого є R = c. Після того як регулятор вніс поправку, сумарний вплив на першу систему буде Y = A + c. У підсумку дістанемо систему регулювання, описану в підрозд. 9.5, причому про­пускна здатність регульованої системи в цьому разі дорівнює 1, а пропускна здатність регулятора — с.

Зі сказаного випливає, що дія описаної системи регулювання ідентична дії системи без зворотного зв’язку з пропускною здатністю (1 / 1 – с), яка дорівнює мультиплікатору Кейнса.

Розглянемо далі, яке практичне застосування може мати основ­на формула регулювання в економіці. По-перше, усю систему регулювання, що складається з регульованої системи S і регулятора R, можна замінити єдиною системою з пропускною здатністю
(S / 1 – SR). По-друге, на підставі основної формули автоматичного регулювання можна зробити деякі розрахунки.

Якщо стан виходу системи у має задане значення z, то значення входу х (рівень настроювання системи регулювання) має становити.

Для системи, пропускна здатність якої дорівнює мультиплікатору Кейнса, а стан входу є обсягом капіталовкладень А, ця формула набирає вигляду

А = (1 – с) z.

Тоді можна виконати наступний розрахунок. Припустимо, що Р є чистою продукцією, якій відповідає зайнятість ар, де а — коефіцієнт трудомісткості чистої продукції. Якщо N0 — кількість людей, яких необхідно забезпечити роботою, то обсяг чистої продукції становитиме Р0 = N0 / a. Для реалізації такого обсягу чистої продукції національний дохід має дорівнювати Р0, тобто Y = P0.

Отже, задане значення Y буде z = P0. Звідси дістаємо:

А = (1 – z)Р0 .

Це означає, що обсяг капіталовкладень має бути пропорційним до заданого обсягу чистої продукції, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює 1 – с.

Можна також визначити пропускну здатність регулятора R, яка потрібна для того, щоб за даної пропускної здатності регульованої системи S і заданого рівня настроювання х досягти заданого значення y = z. За цих умов пропускна здатність системи регулювання визначається формулою:

Якщо пропускна здатність системи регулювання дорівнює
мультиплікатору Кейнса і рівень настроювання дорівнює обсягу капіталовкладень А, то

Цей вираз можна застосувати до розв’язання такої економічної задачі.

Задано обсяг капіталовкладень А0 та стан виходу z = Y = Р0, що забезпечує зайнятість населення на рівні N0. Необхідно знайти значення коефіцієнта споживання с, тобто визначити, яку частину доходів населення потрібно спрямувати на споживання, щоб ця задача могла бути розв’язаною.

Підставляючи відповідні значення, дістаємо:

Ця формула визначає пропускну здатність регулятора, що перетворює дохід на споживчі витрати. Якщо пропускна здатність регулятора відповідає цій величині, тобто якщо є можливість вплинути на розподіл доходу таким чином, щоб коефіцієнт споживання с набув значення, зумовленого щойно наведеною формулою, то дана вище задача має розв’язок.

Задане значення z за даного рівня настроювання х забезпечується в тому разі, якщо пропускна здатність регулятора прямо пропорційна до відхилення (збурювання) z – Sx, що виникло б за відсутності регулятора та обернено пропорційно до Sz, тобто до рівня настроювання, що був би необхідний за відсутності регулятора.

Для розглянутої економічної задачі, як з’ясовується, коефіцієнт споживання має бути прямо пропорційним до різниці між обсягом чистої продукції, що відповідає заданому рівню зайнятості, і заданим обсягом капіталовкладень та обернено пропорційним до обсягу чистої продукції.

11.2. Елементи теорії лінійних операторів

Основну формулу теорії регулювання y = (S / 1 – SR)x було виведено за умови, що S і R є операторами пропорційного перетворення, яке відбувається відповідно в регульованій системі та в регуляторі, тобто в обох системах відбуваються перетворення, що полягають у множенні стану входу на дійсні числа S і R. Покажемо тепер, що основна формула теорії регулювання має значно ширший спектр застосування. Зокрема, умова про здійснення тільки пропорційного перетворення може бути замінена більш загальною передумовою. З цією метою розглянемо основні положення операторного числення.

Процес перетворення стану входу х системи на стан виходу у можна записати в термінах відображень: або у = Тх.

Символ Т називається оператором перетворення, який визначає, що необхідно зробити зі станом х на вході, щоб одержати стан у на виході. Сукупність правил виконання алгебраїчних дій над операторами називається операторним численням.

Розглянемо найпростіший клас операторів — лінійні оператори. Це оператори, що задовольняють такі дві умови:

Перша з цих умов означає, що перетворення Т величини сх (де с = const) рівнозначне перетворенню Т величини х з подальшим множенням результату на сталу с, а отже, цю сталу можна винести за знак оператора.

Інша умова означає, що лінійні оператори мають властивість адитивності — перетворення суми величин х і y рівнозначне сумі того самого перетворення величини х і величини y.

Найпростіший лінійний оператор — оператор пропорційного перетворення, який перетворює стан входу х на стан виходу у за допомогою множення стану входу на деяке дійсне число: y = kx, де k = const. Стала k називається коефіцієнтом перетворення. Зауважимо, що стала k не є оператором пропорційного перетворення, оскільки в даному разі оператор — це правило: «помножити х на k».

До основних лінійних операторів належать:

1. Оператор пропорційного перетворення або оператор пропорційності. Його дія полягає у множенні стану входу х на стале дійсне число.
2. Оператор диференціювання. Якщо стан входу х є непе-
   рервною функцією деякого параметра t, тобто x =  f(t), то цей оператор означає, що для досягнення визначеного стану виходу необхідно продиференціювати функцію f(t), тобто визначити похід­ну цієї функції. Оператор диференціювання позначається d / dt
   або символом D. З диференціального числення відомо, що при відшуканні похідної виконуються умови лінійності перетворення, оскільки Dcx =  cDx і D(x + у) =  Dx + Dу.
3. Оператор (невизначеного) інтегрування, дія якого полягає в тому, що стан виходу визначається як первісна (інтеграл) стану входу x = f(t). Цей оператор позначається символом невизначеного інтеграла(чи символом D1, оскільки інтегрування є оператором, оберненим до диференціювання). Це лінійний оператор, оскільки сталу можна винести за знак інтеграла, і, крім того, інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.
4. Різницевий оператор, який позначається символомD. Його дія полягає ось у чому. Якщо множину можливих значень станів входу системи можна подати у вигляді ряду х1, х2, …, хп, то оператор D перетворить стан входу хi на різницю хi+1 – хi, або Dхi =  хi+1 – хi. Цей оператор також є лінійним, оскільки Dcxi =  cxi+1 – cxi =  c(хi+1 – хi) =  cDхi ; D(хi + уi) =  хi+1 + уi+1 – хi – уi =  Dхi + Dуi .

5. Оператор підсумовування позначається символомå. Його дія полягає в підсумовуванні станів входу за деяким індексом i.
6. Оператор правого зсуву (випередження), що позначається символом Е. Якщо множину можливих значень входу системи можна подати у вигляді ряду х1, х2, …, хп, то оператор Е перетворить стан входу хi на стан виходу у = xi+1 . Отже, Eхi = хi+1.
7. Оператор лівого зсуву (запізнювання) аналогічний оператору випередження, але стан входу хi тут перетвориться в стан виходу xi–1. Якщо позначити його через Е–1, то E–1хi = хi–1. Неваж­ко переконатися, що три останніх оператори також лінійні.

У техніці ці оператори мають такі відповідно назви: пропорційний перетворювач (залежно від призначення — підсилювач чи послаблювач), диференціатор, інтегратор, пристрій виперед­ження чи затримки.

Розглянемо основні алгебраїчні дії, які можна виконувати з операторами перетворення.

Сумою двох операторів називається вираз:

(Т1 + Т2)х = Т1х + T2x.

Це означає, що сума операторів T1 і Т2, застосованих до х, приводить до того самого результату, що й застосування до х спочатку оператора T1, а потім оператора Т2 з наступним додаванням здобутих результатів. Аналогічно визначається різниця двох операторів.

Добуток двох операторів визначається рівністю:

T2 T1x =  T2 (T1x),

яка означає, що застосування до х добутку операторів Т1 і Т2 полягає в послідовному перетворенні х за допомогою T1, а потім — у перетворенні здобутого результату оператором T2.

Зауважимо, що добуток операторів не обов’язково є комутатив­ним. Тому перетворення х спочатку за допомогою оператора T1, а потім за допомогою оператора Т2 може дати інший результат, ніж перетворення, виконані у зворотному порядку.

За означенням n-а степінь оператора Тn, де п — натуральне число, є n-кратний добуток (повторення) того самого перетворення:

Tnx = T(Tn–1 x).

Символом Т–1 позначається обернений оператор. Зміст цього оператора полягає в тому, що коли Т є оператором перетворення х на у, то Т–1 є оператором перетворення у на х: якщо y = Тх, то
х =  Т–1у.

Визначення оператора Т–1 дає змогу подати відношення операторів:

Введемо поняття тотожного перетворення, оператор якого позначимо через Т0 або через І. У разі тотожного перетворення величина х перетворюється на ту ж величину х: Т0 =  Іх =  х. Якщо
перетворення пропорційне, то І є оператором перетворення, дія якого полягає у множенні на 1 (І = 1).

З означення оберненого оператора випливає, що

Т Т–1 = Т–1Т = Т0 = І.

Означені щойно дії з операторами дають змогу одні з розглянутих основних лінійних операторів виражати через інші. Наприклад, оператор (невизначеного) інтегрування можна замінити оператором, оберненим до оператора диференціювання; оператор випередження тотожний оператору, оберненому до оператора запізнювання тощо.

Різницевий оператор D можна подати за допомогою оператора випередження Е. Справді:

Dхi = xі+1 – xі = Exi – xi = (E – 1)xi

і, отже, D º Е – 1 (різницевий оператор тотожний різниці між оператором випередження та оператором тотожного перетворення).

Оператор підсумовування також можна подати за допомогою оператора випередження.

Отже, сім основних лінійних операторів можна подати за допомогою комбінації лише трьох елементарних лінійних операторів: оператора пропорційності, оператора диференціювання та оператора правого зсуву (випередження).

Доведемо тепер, що основна формула теорії регулювання справджується для будь-яких перетворень, що відбуваються в регульованій системі та у регуляторі (за умови лінійності операторів).

Припустимо, що в регульованій системі відбувається довільне перетворення y = Sx, де оператор перетворення S є лінійним. У регуляторі за допомогою зворотного зв’язку до системи підім­кнено регулятор, в якому відбувається перетворення Dx = Ry, де R — також довільний лінійний оператор. Отже, дістанемо систему регулювання, в якій відбувається таке перетворення:

у =  S (х + Dx) = S (х + Ry).

Оскільки оператори S і R лінійні, то виконується співвідношення

у =  S (х + Ry) =  Sx + SRy,  y – SRy =  Sx.

Звідси випливає, що (I – SR)y =  Sx, і, оскільки I = 1, дістанемо основну формулу теорії регулювання.

Таким чином, операторне числення є дуже зручним засобом дослідження систем регулювання, адже над операторами можна виконувати алгебраїчні дії та діставати формули за аналогією з діями над числами.

11.3. Кібернетична інтерпретація дій з операторами

Відповідно до визначених основних дій з операторами розглянемо, як визначаються складні оператори для систем за різних типів з’єднань блоків та підсистем.

Розглянемо ситуацію, коли деякий стан х характеризує загальний вхід двох систем із лінійними операторами Т1 і Т2, а результатом перетворення стану х є два стани виходів відповідних систем у1
і y2, що підсумовуються. Здобуту суму позначимо через у. Таке з’єднання двох систем називається паралельним.

У даному випадку операторні формули мають вигляд: y1 = T1x,
у2 =  Т2x, звідки

y = y1 + y2= T1x + T2x = (T1 + T2) x.

Результат такої дії можна подати за допомогою одного перетворення у = Тх, де T = T1 + T2.

Звідси випливає таке твердження: оператор перетворення,
в якому дві системи з’єднані паралельно, дорівнює сумі операторів окремих систем.

Це правило можна узагальнити методом індукції на скінчену або злічену кількість паралельно з’єднаних систем.

Розглянемо тепер послідовний зв’язок (послідовне з’єднання) двох систем з лінійними операторами Т1 і Т2 . У разі послідовного з’єднання стан виходу однієї системи є станом входу іншої. Тоді y1 = T1x та y = Т2у. Підставляючи перше перетворення замість y1 у формулу другого перетворення, дістаємо y = T2T1x — перетворення, рівносильне одному перетворенню y = Тх, оператор якого T = T2T1.

Отже, оператор, що відповідає послідовному з’єднанню двох систем, дорівнює добутку операторів цих систем. Сформульований висновок методом індукції можна також поширити на довільну (скінченну або зліченну) кількість послідовно з’єднаних систем. У техніці послідовне з’єднання низки систем часто називається каскадом.

Оскільки лінійним операторам можна поставити у відповідність «пропускну здатність» (абсолютне значення) відповідних перетворень, то наведені щойно два правила можна сформулювати інакше:

сукупна пропускна здатність систем, з’єднаних паралельно, дорівнює сумі пропускних здатностей цих систем;

сукупна пропускна здатність систем, з’єднаних послідовно, дорівнює добутку пропускних здатностей цих систем.

Розглянемо третій тип з’єднання, який має важливе значення в кібернетичних системах — зворотний зв’язок (рис. 11.2, в). Позначивши перетворення у двох системах, з’єднаних зворотним зв’язком, через у = Т1х і Dх = Т2у, дістанемо відому вже формулу:

Це співвідношення рівносильне перетворенню y = Tx, де T = T1 / (1 – T1T2). Отже, з’єднання двох систем за допомогою зворотного зв’язку приводить до того, що оператор першої системи Т1 множиться на 1 / (1 – T1T2). Цей останній «співмножник» і є оператором зворотного зв’язку. У разі, коли Т1 і Т2 пропорційні до перетворення, цей оператор рівносильний згадуваному вже коефіцієнту зворотного зв’язку.

Розглянемо два складніших випадки з’єднання систем. У першому випадку припустимо, що існує регульована система, якій відповідає оператор S та з’єднані з нею паралельно дві системи зворотного зв’язку або два регулятори з операторами відповідно R1 і R2

Сумарний результат дії цієї системи регулювання можна записати у вигляді одного перетворення у =  Тх. Позначимо через D1x і D2x стани виходів відповідно першого та другого регуляторів. Тоді, врахувавши, що D1x = R1y та D2x = R2y, дістанемо:

y = S(x + D1x + D2x ) =  S(x + R1y + R2y) = Sx + SR1y + SR2y.

Звідси знаходимо стан виходу:

Отже, в даному випадку результуючий оператор усієї системи регулювання є T = (1 – S(R1 + R2))–1S. Здобутий результат аналогічний тому, який дістали б, замінивши два паралельно з’єднаних регулятори одним регулятором з оператором R = R1 + R2. Це означає, що замість двох паралельно з’єднаних регуляторів можна поставити один, пропускна здатність якого дорівнює сумі пропускних здатностей окремих регуляторів. Цей висновок можна поширити на довільну скінченну або зліченну кількість регуляторів, з’єдна­них паралельно.

У другому випадку припустимо, що система регулювання складається з двох регульованих систем, з’єднаних між собою по­слідовно, з операторами відповідно S1 і S2, причому кожна з цих систем обладнана регуляторами зворотного зв’язку з операторами відповідно R1 і R2

Стан входу першої системи позначимо через х1, виходу — через y1, стан виходу другої системи — через y.

Сумарний результат роботи такої системи запишемо у вигляді одного перетворення y = Tx.

Тому можемо записати:

Звідси маємо результуючий оператор розглянутої системи регулювання.

Наведемо кібернетичну інтерпретацію оператора оберненого перетворення Т–1. Таке перетворення означає, що коли y = Tx, то х = T–1y.

Аналогічно можна довести, що нульове перетворення у =
= (Т – Т)х = 0 — це результат паралельного з’єднання систе-
ми з оператором Т та системи з оператором (–Т), а оператор
(–Т) — результат послідовного з’єднання системи з оператором Т та системи з оператором пропорційного перетворення
(–1).

Розглянуті приклади складних систем можна застосувати до розв’язування конкретних економічних задач. Так, національний дохід y, що дорівнює загальній сумі виплат в економіці, розкладемо на три складові: y = с + I + А, де с — споживання; I — індуковані (чи вторинні) інвестиції, обсяг яких залежить від розміру національного доходу; A — незалежні капіталовкладення, обсяг яких не залежить від національного доходу.

Припустимо далі, що с = c1Y і I = c2Y, причому коефіцієнт споживання 0 < c1 < 1, а коефіцієнт індукованих капіталовкладень 0 < c2 < 1; окрім того, c1 + c2 < l. Тоді дістанемо Y = c1Y +
+ c2Y + A, звідки

Отже, оператор перетворення у = ТА, що відбувається в роз-
глянутій складній системі, набирає вигляду T = 1 / (1 – (c1 + c2)). Цей вираз — розгорнута форма мультиплікатора Кейнса.

У регульованій системі відбувається тотожне пропорційне перетворення з оператором S = 1. Це означає, що незалежні капіталовкладення перетворюються на дохід, що дорівнює цим капіталовкладенням. З регульованою системою паралельно з’єднано два регулятори з операторами с1 і с2. Комплекс систем такого роду можна замінити системою, що складається з регульованої системи і лише одного регулятора з оператором с1 + с2 = с. Тоді мультиплікатор Кейнса набере колишнього вигляду 1 / 1 – с з тією лише різницею, що тут с є сумою коефіцієнтів споживання та індукованих капіталовкладень.

Комплекс, що складається з двох послідовно з’єднаних регульованих систем з оператором S = 1, кожну з який обладнано регулятором з операторами відповідно с1 і c2, можна інтерпретувати з економічного погляду в такий спосіб.

У першій регульованій системі та відповідному їй регуляторі відбувається перетворення В1 = с1Y1 + A, тобто Y = (1 /1 – с2) A. Нехай ця система позначає країну, що одержує зов­нішню позику в розмірі с2Y1, тобто в розмірі, пропорційному до виробленого в ній національному доходу. Цей додатковий фак­тор (зовнішня позика) зумовлює перетворення, здійснюване у дру­гій регульованій системі та в її регуляторі: Y = Y1 + c2Y, звідки

Отже, підставляючи вираз для Y1, остаточно дістаємо:

Таким чином, результуючий оператор розглянутої складної системи є добутком мультиплікаторів обох послідовно з’єднаних систем регулювання.

З проведеного аналізу можна зробити такі висновки. Кібернетична інтерпретація дій з операторами, що відповідають різного роду з’єднанням, дає змогу обчислити результуючий оператор дії цілого комплексу систем. Звідси випливає, що кожна система, оператор якої можна подати у вигляді суми, різниці, добутку або відношення інших операторів, становить комплекс систем, якось з’єднаних між собою.

Системи, в яких відбувається перетворення за допомогою еле­ментарних перетворень або обернених до них операторів, називаються елементарними системами, або елементами.

Тому всі системи являють собою або елемент, або комплекс елементів, певним чином з’єднаних між собою, оскільки кожну алгебраїчну дію з елементарними операторами можна тлумачити як відповідне з’єднання елементів.

11.4. Застосування принципів теорії автоматичного управління (ТАУ) в економіці

Теорія автоматичного управління (регулювання) широко застосовується в управлінні складними технічними системами, зокрема технологічними процесами. Економічні системи управління відрізняються від технічних більшою складністю, нелінійністю, наявністю численних прямих і зворотних зв’язків, інтенсивністю інформаційних потоків, багатокомпонентністю, стохастичністю, і тому, зрозуміло, моделі автоматичного регулювання недостатньо адекватні реальним економічним процесам та явищам. Але загальні ідеї ТАУ, а часто і спільні математичні закони можуть бути корисними під час аналізу економічних явищ.

Застосування принципів ТАУ під час дослідження економічних систем можна здійснювати в кількох напрямках.

Напрямок перший. Моделі ТАУ можна інтерпретувати в термінах економічних систем, використовуючи таку інтерпретацію для виявлення структури та контурів взаємодії окремих підсистем. Такі моделі дають змогу виявляти важкоспостережувані канали інформаційних взаємодій в економіці.

Напрямок другий пов’язаний із застосуванням принципів зворотних зв’язків в управлінні економічними системами та побудовою таких механізмів регулювання, які б забезпечили стійке й ефективне функціонування економічних систем в умовах зміни зовнішнього середовища.

Напрямок третій. Застосування принципів ТАУ в економіці пов’язаний з тим, що незалежно від свідомої діяльності людей на функ­ціонування економіки впливають такі механізми регулювання,
яким притаманні риси автоматизму. Але, на відміну від технічної кібернетики, в економіці замість терміна «автоматичне регулювання» використовується термін саморегуляція, який означає самостійне реагування економічної системи на зовнішні збурювальні впливи.

Деякі приклади інтерпретації економічних явищ за допомогою ТАУ було наведено у двох попередніх підрозділах.

Подамо загальні міркування про використання ТАУ для з’ясу­вання інформаційних потоків в економічних системах. Економічні процеси внаслідок своєї об’єктивної природи завжди являють собою процеси керовані. Тому економічні системи, що їх відбивають, розглядаються в більшості досліджень і розробок як кібернетичні системи, тобто з позицій дослідження управління як процесу переробки інформації.

Саме з розгляду властивостей і особливостей управління в економіці випливають всі вимоги до економічної інформації: до її змісту, кількості, класифікації, режимів обробки та форм подання. Економічна інформація взагалі існує лише остільки, оскільки вона забезпечує управління в економіці. Економічна інформація — це все те, що потрібно знати для здійснення управління та розв’я­зання конкретних задач управління в економіці, тобто відомості про об’єкти, середовище, цілі, дії, способи досягнення цілей тощо.

Чимало об’єктів, що розглядаються як системи, мають вельми складні властивості, наприклад складне (неоднозначне) повод­ження, складну мету і т. ін. Більшість таких властивостей характерна для економічних систем.

Саме з огляду на складність задачі, що постають для таких систем, доцільно скористатися тут найпростішою з кібернетичних моделей — стандартною моделлю автоматичного регулювання. Як уже зазначалося, застосування моделей такого типу до дослід­ження економічних систем викликає певні заперечення, оскільки моделі автоматичного регулювання, призначені для опису простіших технічних систем та механічних агрегатів, безумовно, недостатньо достовірно відображають набагато складніші економічні процеси і явища. Проте ми скористаємося такою моделлю тільки на концептуальному рівні, щоб виявити деякі важкоспостережувані канали інформації в економіці та суспільстві.

Візьмемо стандартну схему автоматичного регулювання . Об’єкт управління (ОУ) конкретно інтерпретується залежно від розглядуваної економічної системи будь-якого рівня. Це може бути виробничий або інший агрегат, підприємство, галузь, економічні суспільні відносини, економіка в цілому. Регулятор, або пристрій управління (ПУ), також набуває відповідного сенсу в даній системі: робітник-оператор; орган управління; комплекс актів економічного законодавства; уся система управління економікою тощо.

Передаючи командну інформацію, регулятор змінює поводження регульованого об’єкта. Команди виробляються відповідно до «статутного» настроювання регулятора, що може інтерпретуватися як мета управління. Настроювання приладу автоматичного регулювання виконує оператор, а мету управління вводить у систему задавальний блок (ЗБ).

Блок контролю (БК) реєструє поводження об’єкта, що є первинним джерелом інформації зворотного зв’язку. Блок порівняння (БП) оцінює напрями та розміри відхилень поводження об’єкта від заданого блоком регулювання, переробляючи й перетворюючи інформацію зворотного зв’язку. Блоки БК і БП в економічних системах інтерпретуються як системи контролю, обліку, статистики. Перероблена інформація зворотного зв’язку надходить до регулятора для вироблення нових команд.

Інформаційне кільце буде простим контуром регулювання. Контур управління (розімкнений) охоплює і блок ЗБ, тобто мету управління та критерій його ефективності.

Ця схема обминає питання про те, яким має бути настроювання регулятора, тобто звідки у процесі управління беруться цілі й критерії регулювання. І це природно, оскільки воно взагалі не є предметом розгляду теорії автоматичного регулювання. Застосовуючи цю схему до вивчення економічних систем, необхідно брати до уваги їхній ієрархічний характер, розвиваючи схему регулювання до великої системи. Цільова установка для кожного економічного об’єкта задається ззовні з боку його надсистеми.

Простіше за все зазначена ситуація трактується в ієрархічній структурі органів управління: виробнича дільниця отримує установку від управління цеху, цех — від керівництва підприємства, яке враховує інтереси власників та керується законодавством, нормативними актами й директивами міністерства тощо.

Але, виявляється, цього недостатньо для адекватного відобра­ження процесів управління в суспільстві та економіці. Діяльність кожного економічного об’єкта є багатоплановою, адже підприємство не тільки випускає продукцію, а й поліпшує, модернізує її; веде самостійну господарську діяльність; забезпечує зайнятість населення і формування його доходів; функціонує як соціальний осередок суспільства. Очевидно, що економічна система управління має бути подана як складна система, а модель автоматичного регулювання — не лише як ієрархічна, а й багатоконтурна.

Регулювання в контурі будь-якого рангу здійснюється не за одним, а за цілою низкою настроювань, що одночасно співіснують і задаються з різних контурів управління, що відбивають багатоплановість економічного та соціального життя. В органах управління відповідно співіснують і безперервно взаємодіють різні типи установ, що керують різними аспектами функціонування одних і тих самих об’єктів — функціональних, лінійних (галузевих), територіальних органів тощо.

У ТАУ вважається, що кожна нижня ланка виконує розпоряд­ження вищої ланки, причому ці розпорядження абсолютно точні й вичерпні. Це справді так щодо машинних комплексів. Але в економічних системах, в органах господарського управління команда, що передається від вищої ланки управління до нижчої, звичайно має доволі загальний характер, потребуючи уточнення, деталізації, конкретизації тощо.

Конкретизуючи вказівки вищої ланки, нижча ланка керується також власними інтересами. Так, підприємство, отримавши від галузевих органів управління основні показники плану виробниц­тва, розробляє свій план виробничо-господарської діяльності, виходячи також з інтересів забезпечення максимальної рентабельності.

Для врахування цих «власних інтересів» ланок економічної системи необхідно розрізняти два типи контурів регулювання. Контури регулювання першого типу — їх називають адміністративними важелями управління — ґрунтуються на індивідуальному впливі, їх прийнято. Це безпосередні команди: обсяг і номенклатура основної продукції, виділені основні та оборотні кошти, загальний фонд заробітної плати, фонди матеріально-технічного постачання.

Другий тип контурів регулювання — їх називають економічними важелями управління — має універсальний характер. Це пев­ні законодавчі положення стосовно відрахувань прибутків до фонду підприємства, щодо заходів з матеріального і морального заохочення підприємства загалом і кожного члена його колективу в результатах роботи. Взаємодією цих універсальних контурів регулювання і визначаються власні інтереси колективів підприємств, виробничих об’єднань, галузей народного господарства. Як «вбудовані регулятори економіки» їх інтенсивно досліджує економетрика.

Кожний із контурів регулювання діє ефективно тільки у взаємодії з іншими контурами. Так само як у паралельно з’єднаних провідниках виникає індукція струму, якщо в деяких із них змінюється напруга, у контурах економічного регулювання виникає інформація, коли починають діяти окремі з них.

Окремі контури економічного регулювання не тільки взаємодіють між собою, а й можуть замінювати один одного. Основна проблема організації управління економікою зводиться до вибору такого поєднання контурів економічного управління, яке б забезпечувало найкраще співвідношення централізованих безпосередніх методів адміністративного управління з децентралізованими, економічними важелями управління.

Контрольні запитання та завдання

Доведіть основну формулу автоматичного регулювання.

Що називають пропускною здатністю регулятора?

Дайте економічну інтерпретацію основної формули ТАУ.

Які основні лінійні оператори ви знаєте?

Доведіть формулу:

Наведіть приклади застосування ТАУ в економіці.

12.1. Методи прийняття управлінських рішень

У загальному випадку процес управління економічними системами складається з таких етапів: збору інформації, вибору рішення та здійснення (прийняття) рішення. Ці етапи циклічно повторюються, при цьому на кожному наступному кроці оцінюється якість управління.

Оцінюючи якість управління, за критерій беруть міру досягнення поставленої цілі. Проте можливі й інші критерії, пов’язані з вибором траєкторії руху до досягнення заданої цілі. Критерієм ефективності в такому разі може бути максимальна швидкодія або мінімальні витрати ресурсів для досягнення цілі. Нарешті, критерієм ефективності системи управління може виступати точність, з якою вона веде об’єкт за вибраною траєкторією. Для цього з’ясовують чи не виходять відхилення (які все одно неминучі) за припустимі межі.

СУ на основі обробки та аналізу інформації про об’єкт управління приймає відповідні рішення або подає деякі розпорядження щодо бажаних подальших дій (плани, інструкції, накази, комплекс фізичних керуючих впливів тощо). Прийняття рішення завжди полягає у виборі деякої альтернативи з множини припустимих варіантів. Цей процес вибору, що охоплює і розробку альтернатив, називається процесом прийняття рішень.

І хоча в теорії управління не існує універсальних методів для відшукання оптимального (у деякому сенсі) управління, у її рамках здобуто важливі результати для деяких класів детермінованих і стохастичних систем [2; 6; 10; 13; 14].

Процеси прийняття рішень в економіці базуються передусім на використанні евристичних методів, а останні, у свою чергу, ґрунтуються на застосуванні правил, прийомів, спрощень, що узагальнюють відповідний досвід особи, яка приймає рішення (ОПР). Евристичні міркування — це попередні судження, спрямовані на пошук такого розв’язку задачі, який характеризується більшою або меншою мірою вірогідності.

Окрім цього, здійснювати вибір ефективних рішень допомагає застосування деяких спеціальних методів, таких як системний аналіз, дослідження операцій, мережний аналіз тощо. Ці методи доволі ефективні для розв’язування багатьох управлінських та виробничих проблем.

У процесі прийняття рішення можна виокремити кілька етапів. Основу прийняття рішення становить так званий модельний (уяв­ний) експеримент, що передбачає:  побудову уявної моделі об’єкта управління; формулювання ідеалізованих умов, що впливають на модель; довільне комбінування цих умов і їх можливих впливів на модель та оцінювання в думці відповідних ситуацій і можливих наслідків.

Реалізуючи модельний експеримент, перевіряють наявність у робочій пам’яті керуючого органу готового «рецепта» для досягнення поставленої мети (розв’язання відповідної задачі). Якщо такий рецепт існує і ситуація, що склалася, подібна до тієї, в якій цей рецепт вже застосовувався, аналізують можливі наслідки його застосування та виробляють відповідне рішення.

З метою прийняття рішень у детермінованих умовах успішно застосовують математичне моделювання. Адже за допомогою математичних моделей вдається досліджувати реальні системи, відшукуючи їхні характерні особливості й кількісні параметри та формулюючи зрештою задачу прогнозування. Остання полягає у визначенні наслідків, яких можна очікувати в разі реалізації різних варіантів рішень.

У процесі розв’язування задач за допомогою математичного моделювання широко використовують методи прикладної математики, зокрема математичне програмування, методи прогнозування, математичну статистику, теорію ігор тощо, а також ком­п’ютерну техніку й відповідні пакети прикладних програм.

Зауважимо, що для багатьох економічних задач побудовано достатньо апробовані моделі, які добре зарекомендували себе на практиці. Зокрема, моделі математичного програмування широко використовуються для обґрунтування прийняття рішень стосовно планування асортименту та обсягу виробництва продукції за наявних обмежень на ресурси, планування транспортних перевезень, мінімізації витрат тощо.

З огляду на порівняну простоту розв’язування детермінованих лінійних задач керівники нерідко намагаються зводити реальні задачі до цих умов, не повністю враховуючи або навіть ігноруючи вплив різноманітних об’єктивних чинників. Такий підхід може призвести до прийняття неоптимальних, недостатньо ефективних або й зовсім хибних рішень.

Розв’язуючи задачі в умовах ризику, для оцінювання ймовірностей виникнення тих чи інших ситуацій застосовують методи з таких розділів математики, як теорія ймовірностей та математична статистика. Якщо ймовірності та їхні оцінки визначено з достатньою точністю, то для вироблення рішення можна скористатися математичним моделюванням.

Коли модель об’єкта побудовано в імовірнісних категоріях, задачу управління можна розв’язувати методами математичного програмування (стохастичного, динамічного). Апарат теорії ігор також придатний для розв’язування задач за умов ризику.

Найбільшу складність становить розв’язування задач за умов невизначеності, оскільки для них неможливо зробити достовірний прогноз або оцінити ймовірність впливу різних об’єктивних чинників. До того ж розв’язування таких задач не можна звести до складання математичної моделі, як це робиться для задач, розв’я­зуваних за детермінованих умов. Як правило, критерієм оцінки якості управління служить міра ризику або рівень втрат, які, за припущенням, може понести ОПР. За умов невизначеності (як і за умов ризику, коли немає достатньої довіри до знайдених оцінок різних варіантів) приймати остаточне рішення може керівник, вибираючи найефективніший, як на нього, варіант.

Велике значення в такому разі мають риси характеру керівника, його досвід, знання, інтуїція. Найбільш обережні прагнуть зазвичай уникати будь-якого ризику, обираючи той варіант рішення, який забезпечує мінімальні втрати за несприятливих обставин, тобто керуються правилом мінімізації максимального збитку, або обережних рішень. Керівник-оптиміст, як правило, намагається вибрати такий варіант рішення, який дає найкращий з усіх кращих результатів, незважаючи на те, що за несприятливих умов він може завдати відчутних втрат (збитків).

Правило обережних рішень застосовують багато керівників, хоча прагнення до максимуму очікуваних результатів іноді буває ефективнішим. Наприклад, керівники підприємств часто вважають за доцільне мати надлишки запасних деталей на складах, щоб не зазнавати ризику виникнення простоїв у виробництві через перебої постачання.

Зауважимо, що нагромадження інформації у процесі розв’язу­вання задачі дає змогу зменшити невизначеність результатів, очікуваних від того чи того рішення. Крім того, реалізація рішення також стає джерелом інформації. Таким чином, невизначеність зменшується завдяки вмінню керівника не тільки передбачити достовірні наслідки від прийняття певного рішення, а й своєчасно скоригувати їх залежно від ступеня досягнення поставленої мети та зміни зовнішніх і внутрішніх умов. Тут постає багатокрокова задача прийняття рішень, в якій реалізується адаптивне управління.

Незважаючи на складність формалізації задач за умов невизначеності, у цьому напрямку здобуто деякі позитивні результати. Вивчено два типи невизначеностей ситуацій: невизначеність стану природи і невизначеність цілеспрямованої протидії. Задачі, що по­в’язані з невизначеностями першого і другого типів, досліджують відповідно теорія статистичних рішень та теорія ігор.

Для розв’язування багатокрокових задач за умов невизначеності застосовують динамічне програмування. Прийняття рішень у такому разі являє собою задачу управління, яку у принципі завжди можна формалізувати. Однак під час розробки математичних моделей реальних об’єктів нерідко постають труднощі у тих випадках, коли не всі чинники можна формалізувати й подати кількісними залежностями. Це зумовлюється стохастичністю досліджуваних процесів, а також відсутністю досить повної інформації, необхідної для прийняття обґрунтованих рішень.

Отже, доводиться приймати рішення за умов ризику і невизначеності. Важливе значення має розробка відповідних методів прийняття рішень. У теорії управління розроблено і застосовано на практиці підходи до цієї проблеми. Одним із таких підходів є побудова спрощеної моделі об’єкта, причому спрощення досягається за рахунок нехтування другорядними факторами, звернення до простих загальних правил, пристосування до найближчого горизонту планування, зневажання ризику, тобто заміни невизначеності ситуації певними співвідношеннями.

Іншим підходом до розв’язування задач за умов ризику і невизначеності є застосування евристичних методів, що передбачають широке використання досвіду та інтуїції. Ці методи дають змогу здійснювати пошук рішення тоді, коли навіть не сформульовано задачу і невідомі способи її розв’язування. Раціональне поєднання алгоритмічних та евристичних методів у процесі розв’язування управлінських задач дає найбільший ефект.

Для вибору управлінських рішень за умов неповної інформації розробляються методи, що ґрунтуються на використанні відомої в теорії ймовірностей теореми Баєса. Ці методи дістали назву «баєсівського підходу», що полягає в поєднанні досвіду та інтуїції з нагромадженою інформацією для прийняття рішень. Однак для практичного використання цей підхід розроблений ще недостатньо. Окрім цього, для прийняття рішень у складних умовах ризику, невизначеності та конфліктності застосовується системний підхід (див. наступний підрозділ).

Докладніше з теорією прийняття управлінських рішень ознайомлюють праці [15; 16].

12.2. Системний підхід в управлінні економічними системами

Застосовуючи методологію системного підходу до задач управ­ління, можна вдосконалити процес прийняття управлінських рішень та оптимізувати організаційну структуру економічної системи. У за­гальному випадку ця методологія складається з розглянутих далі етапів:

1. Усвідомлюються поставлені керівником завдання та ви-
   значається ціль управління.
2. Окреслюється підсистема завдань, які необхідно виконати, щоб забезпечити найбільш успішне досягнення цілі.
3. Намічаються комплекси заходів, спрямованих на виконання кожного із завдань.
4. Вибирається технологія здійснення заходів для виконання кожного із завдань.
5. Досліджуються фактори зовнішнього і внутрішнього середовища, що впливають на функціонування системи та виконання заходів і завдань.
6. Обчислюються необхідні види ресурсів.
7. З’ясовуються кількість та якість наявних ресурсів.
8. Визначається порядок виконання заходів з урахуванням технологічних і ресурсних обмежень.
9. Встановлюється мінімальна кількість ресурсів, необхідних для виконання робіт у визначений термін.
10. Оформлюється рішення (розробляється план), яке затверджує його керівник.
11. Здійснюється підготовка виконавців, одержуються відсут­ні засоби, реалізується рішення (план).

Розглянемо ці етапи докладніше.

Входом етапу 1 є завдання, поставлені вищим керівництвом, а виходом — визначення мети діяльності, а також завдання з підготовки пропозицій для ухвалення рішення. Методика роботи на цьому етапі спрямована на якомога точніше визначення цілі діяльності. Ціль діяльності може бути виражена кіль­кісно чи якісно.

Входом етапу 2 є ціль, визначена на попередньому етапі. Виходом цього етапу має бути система завдань, які необхідно виконати, щоб забезпечити ефективне досягнення цілі. Сутністю діяльності на цьому етапі є розчленовування цілі на окремі взаємозалежні завдання (побудова дерева цілей), що являють собою порівняно самостійні напрямки або етапи діяльності з досягнення цілі.

Входом етапу 3 є система завдань, які було одержано на попередньому етапі. Виходом етапу є комплекс заходів, спрямованих на виконання кожного із завдань.

Входом для етапу 4 є підсистеми заходів, необхідних для виконання кожного із завдань, а виходом — технології здійснення цих заходів.

Технологія та послідовність заходів є, у свою чергу, входом етапу 5, виходом якого буде набір факторів зовнішнього і внутрішнього середовища системи діяльності, від яких залежатиме виконання кожного із заходів і всього створюваного процесу.

На етапі 6 залежно від характеру та технології робіт і факторів зовнішнього і внутрішнього середовища (виходів 3, 4, 5) потрібно визначити види та якість необхідних ресурсів і підготовку потрібних фахівців.

На етапі 7 визначається наявна кількість ресурсів. Змістом процесу діяльності на цьому етапі буде: визначення кількісного та якісного складу наявних ресурсів (фінансових, трудових, технологічних, інформаційних тощо);  аналіз ресурсів, що використовуються для виконання завдань, не пов’язаних безпосередньо з досягненням головної цілі;  визначення порівняльної важливості цілей та термінів їх досягнення; визначення кількості і якості ресурсів, які можна використати під час досягнення наміченої цілі на різних етапах діяльності (наявна кількість ресурсів може коливатися у процесі досягнення цілі).

На цьому етапі закінчується системний аналіз. У результаті аналізу майбутньої діяльності визначено:

— ціль діяльності;

— завдання діяльності;

— заходи, які необхідно здійснити, щоб забезпечити виконання кожного із завдань;

— фактори зовнішнього і внутрішнього середовища, що впливають на виконання кожного заходу та завдання, а зрештою — на досягнення цілі;

— необхідні види, кількість та якість ресурсів.

У результаті аналізу нам стало відомо, що потрібно зробити і в якій послідовності, щоб досягти головної цілі діяльності, а також з’ясувалося, що впливає на успіх майбутньої діяльності та які сили й засоби необхідні для його досягнення.

Етап 8 найвідповідальніший: у результаті його реалізації має бути розроблено модель майбутнього процесу діяльності — це його вихід. Входом даного етапу є все те, що визначено на попередніх етапах: ціль, завдання діяльності, склад, технології виконання заходів, фактори зовнішнього і внутрішнього середовища, характер їх зміни в майбутньому, необхідні види ресурсів, їх наявність тощо.

Характер моделі діяльності з досягнення цілі залежатиме від важливості процесу, точності визначення вхідних даних, наявності часу на розробку моделі. Через складність процесів суспільної та економічної діяльності та неможливість виразити кількісно деякі фактори системне дослідження в загальному випадку не вдається повністю формалізувати (побудувати математичну модель системи). Математична формалізація можлива, як правило, лише для окремих її блоків, окремих завдань.

Змістом цього етапу буде:  оперативний опис процесу діяльності; вибір критерію;  вибір способу моделювання.

Далі здійснюється розробка моделі, оптимізація та поліпшення моделі, розробка алгоритму моделі. Мета застосування моделі — дістати оптимальний варіант за мінімально можливого використання ресурсів, якщо модель оптимізаційна чи відшукати набір варіантів з їхніми кількісними оцінками, якщо оптимізація моделі неможлива.

На етапі 9 визначається мінімальна кількість ресурсів, необхідних для завершення процесу в заданий термін. Входом є розроблена на попередньому етапі модель. Якщо в результаті моделювання з’ясовується, що за наявних ресурсів досягти мети діяльності в заданий термін не вдається, то змістом цього етапу буде послідовний перегляд результатів моделювання зі збільшенням ресурсів до одержання бажаного результату.

Отже, якщо на етапі 8 розв’язувалися задачі оптимізації за часом (за швидкодією) з обмеженнями на ресурси, то на етапі 9 має розглядатися задача оптимізації використання ресурсів за обмеження на час.

Входами етапу 10 є здобуті в результаті моделювання:

оптимальний варіант дій (набір варіантів, дій) згідно з термінами досягнення цілі та відповідно до намічених ресурсів;

оптимальні пропозиції щодо зміни складу ресурсів чи режиму їхньої роботи в разі, коли за наявних ресурсів та нормального режиму їхньої роботи досягти цілі із заданою ефективністю в зазначений термін неможливо.

Вихід цього етапу — затверджений керівником варіант дій із досягнення цілі.

На етапі 11 на підставі плану (вхід) мають бути розроблені конкретні програми індивідуальної (колективної) підготовки виконавців, здійснено цю підготовку, а також одержані ресурси, яких бракує. Виходом цього етапу буде реалізація розробленого плану.

Розглянута методологія придатна як для прийняття управлінських рішень, так і для створення організаційних систем управління, коригування, оптимізації структур вже наявних цільових організацій.

Зазначимо, що виходи кожного з етапів, кожного з кроків діяль­ності на етапах мають бути взаємопогоджені і, звичайно, узго­джені з головною ціллю діяльності. Це означає, насамперед, необхідність такого узгодження методів роботи на етапах (кроках), які забезпечують якість виходів і визначають тривалість роботи.

12.3. Якісний аналіз процесів управління в макроекономіці

Для багатьох ситуацій макроекономічний аналіз зручно проводити в термінах «цілі — засоби». Тоді макроекономічна політика може розглядатись як цілеспрямована зміна параметрів стану системи. Параметри системи розбиваються на дві групи: структурні характеристики системи, які разом зі змінними стану зовнішнього середовища (надсистеми) є неконтрольованими, та параметри управління. Змінюючи останні, можна привести економічну систему до бажаного стану. Управління агрегованим попитом у ринковій конкурентній економіці відбувається через формування державного бюджету (фіскальна політика) або регулюванням обсягу грошової маси (монетарна політика).

У загальному випадку m-вимірний вектор u можна вважати допустимим вектором макроекономічної політики (набору параметрів управління), а n-вимірний вектор y — вектором стану макроекономіки. Тоді макроекономічна рівновага описується векторно-матричним рівнянням [12]:

y – F(y, u) = 0,

де F(×) матриця розміру m ´ n, що характеризує структуру макроекономіки та її взаємодію із зовнішнім середовищем або надсистемою. Вектор рівноважного стану макроекономіки є функцією параметрів системи: y* = y*(u).

Для достатньо малого околу точки рівноваги макроекономічної політики (параметри управління) та зміни станів системи пов’я­зані рівнянням:

звідки ефекти макроекономічної політики визначаються матричним рівнянням:

де Е — одинична матриця, а J = E – (¶F – ¶y) — матриця Якобі макроекономічної системи (12.1), обчислена в точці рівноваги. Добуток двох матриць у правій частині (12.2) характеризує реакцію макроекономіки на зміну параметрів системи, які інтерпретуються як реалізація макроекономічної політики.

Ефективність макроекономічної політики розуміється як здатність монетарної та фіскальної політики впливати на реальний ринок, виробництво та зайнятість. Основне завдання макроекономічної політики полягає в максимальному наближенні поточного стану системи (реального виробництва та зайнятості) до її потенційних природних значень. Макроекономічна політика є стабілізаційною, якщо її застосування відновлює порушену рівновагу системи. Здебільшого завдання макроекономічної стабілізації полягає в мінімізації відхилення між потенційним та фактичним рівнем виробництва, що в сучасній інтерпретації формулюється як підтримка безробіття на рівні, який забезпечує заданий рівень інфляції — NAIRU (Non Accelerating Inflation Rate of Unemployment).

Макроекономічні моделі дають змогу виявляти відносні супереч­ності між цілями економічної стабілізації та засобами (інструмен-
тами) їх досягнення. Розглянемо такий приклад [12]. Нехай відкрита економіка характеризується двома координатами — станом платіжного балансу y1 та рівнем зайнятості y2. Рівноважні значення цих показників подано як функції стану агрегованого попиту u1 та обмінного курсу u2, тобто векторно-матричне рівняння має вигляд Y = F(U). Як цілі короткострокового розвитку розглядаються поліпшення платіжного балансу та підвищення рів­ня зайнятості dy = (dу1, dy2). Стандартними інструментами макроекономічної стабілізації можуть бути підвищення агрегованого попиту разом з політикою знецінювання національної валюти (зниження обмінного курсу), тобто вектор інструментів має виг­ляд dи = (dи1, dи2).

Якісний аналіз цієї системи допомагає зрозуміти, чому, зокрема, поставлені цілі відносно суперечливі.

Це означає, що зростання агрегованого попиту за рахунок розширення пропозиції грошей сприяє скороченню безробіття (f21 > 0). Водночас зростання грошової маси погіршує стан платіжного балансу (f11 < 0), оскільки зростає попит на іноземну валюту. Проте знецінювання національної валюти підвищує попит на іноземну валюту, погіршує платіжний баланс (f12 < 0), але при цьому дорожчає імпорт, що сприяє зростанню власного виробництва та зменшенню безробіття (f22 > 0).

Отже, матриця системи (12.3) містить корисну інформацію щодо реалізовуваності поставлених цілей, особливо у тих випадках, коли цілі та засоби є суперечливими. З наведеного прикладу зрозуміло, що поставлені цілі не можуть бути досягнуті лише за рахунок того, що центральний банк управлятиме грошовою масою. За головні цілі макроекономічної політики часто беруть економічне зростання, мінімальні рівні інфляції та безробіття.

Наведений приклад показує, що навіть у такому спрощеному вигляді, коли макроекономіка характеризується всього двома параметрами стану та має два параметри управління, наявність багатьох контурів прямих і зворотних зв’язків робить процес управління доволі складним та неоднозначним.

Контрольні запитання та завдання

У чому полягають загальні принципи та особливості управління економічними системами?

Опишіть основні етапи процесу прийняття рішень.

Чим різняться між собою ситуації прийняття рішень у детермінованих умовах, умовах ризику та невизначеності?

Які математичні методи застосовуються для підтримки прийняття рішень?

Охарактеризуйте сутність системного підходу в управлінні та його основні етапи.

У чому полягає сутність якісного аналізу управління макроекономікою?

13.1. Загальна характеристика систем управління

Залежно від ступеня участі людини у процесах управління можна виокремити три основні типи СУ: технічні, ергатичні та організаційні.

1. Технічні СУ — це системи, що містять як елементи технічні пристрої та можуть протягом деякого проміжку часу функціонувати без участі людини. Вони характеризуються такими властивостями: чітко визначеною (як правило, єдиною) ціллю або групою цілей управління;  відсутністю людини в контурі управління;  достатньо високою визначеністю вхідних даних та можливіс­тю формалізації процесів функціонування за допомогою математичних моделей.

2. Ергатичні СУ — містять у контурі управління як технічні пристрої, так і людей, що взаємодіють з цими пристроями. Вони мають такі особливості:  наявність багатьох часткових цілей управління, які формуються вищими органами управління залежно від стану ОУ та зов­нішніх чинників; необхідність врахування психологічних особливостей людини, яка є складовою контуру управління;  невизначеність вхідних даних і неможливість адекватного опису процесів функціонування та їх повної формалізації; необхідність управляти багатьма різними підсистемами.

3. Організаційні СУ. Якщо як ОУ (керована система) розглядаються колективи людей, то така система називається організацією. Інакше кажучи, будь-яка організація — це група людей, діяльність яких свідомо координується для досягнення спільних цілей. Група людей вважається організацією, якщо:  складається принаймні з двох осіб, що вважають себе частиною цієї групи; існує єдина ціль (бажаний кінцевий стан або результат), яку вважають спільною всі члени групи; є члени групи, які свідомо працюють разом для досягнення важливої для всіх цілі.

Процес управління організаціями — особливий процес, що належить до найбільш складних форм діяльності людини. Управління організацією як особливий вид діяльності перетворює неорганізовану групу людей (юрбу) на ефективну, цілеспрямовану й продуктивну групу.

Організаційні системи управління (наприклад, системи управління підприємствами, фірмами, галузями й секторами промисловості, державою) найскладніше досліджувати, оскільки:  такі системи здатні самостійно формувати цілі та самоорганізовуватися;  у процесі управління ними необхідно враховувати численні політичні, соціальні та економічні фактори;  вони характеризуються високою невизначеністю вихідних даних, неможливістю спрогнозувати всі фактори, що впливають на процеси управління, а також обмеженою можливістю застосування математичних моделей для прийняття управлінських рішень;  основна роль під час прийняття рішень та організації їх виконання належить людині, яка може припускатися помилок, формуючи цілі та плануючи обсяги витрат ресурсів на їх досягнення;  існують численні різноманітні зв’язки й відносини між органами управління та окремими керівниками, причому немає чітких меж між СУ та ОУ, що мають складну ієрархічну струк­туру;  такі системи зорієнтовані на певні соціальні потреби.

В економіці, як відомо, переважають СУ організаційного типу, тому розглянемо їх докладніше.

Уточнення функцій підрозділів, чітке визначення прав і обо­в’язків кожного керівника і співробітника, усунення дублювання функцій і інформаційних потоків — усе це дає змогу різко підвищити ефективність управління.

Основними проблемами, що постають під час розробки структури складних систем, є встановлення правильних взаємовідносин між окремими підрозділами системи управління, що пов’яза­но з визначенням їхніх цілей, умов роботи та стимулювання; розподіл відповідальності між керівниками; вибір конкретних схем управління і послідовності процедур під час прийняття рішення; організація інформаційних потоків; вибір відповідних технічних засобів.

Під структурою системи розуміють її організацію з окремих елементів з їх взаємозв’язками, які визначаються поставленими перед системою та її елементами цілями і розподілом функцій між елементами.

Організаційна структура передбачає розподіл завдань і повноважень з прийняття рішень між особами або групами осіб зі ство­ренням відповідних структурних підрозділів.

Система управління може бути централізованою, коли всі важ­ливі рішення приймаються в її центральному органі управління, і децентралізованою, в якій рішення приймають окремі елементи системи незалежно від інших елементів, причому ці рішення не коригує центральний орган.

У реальних організаційних системах частину рішень приймають централізовано, а частину — децентралізовано. Міра централізації системи управління визначається співвідношенням між цими частинами.

Центральний орган системи має у своєму розпорядженні всі матеріальні, фінансові та людські ресурси, що дає йому змогу, приймати рішення стратегічного характеру, перерозподіляти ресурси з однієї частини системи до іншої, концентрувати їх на найважливішому напрямку тощо. Однією з важливих функцій цен-трального керуючого органу системи є управління координованою діяльністю всіх її частин.

Неузгодженість, недостатня координація дій, невдалі рішення на окремих ділянках роботи призводять до зростання матеріальних витрат і часу виконання поставлених завдань. Тому центральний орган повинен забезпечити досягнення загальної мети системи координацією діяльності багатьох спеціалізованих організацій.

Проте децентралізована система має ту перевагу, що в ній органи управління максимально наближені до об’єктів управління. При цьому істотно полегшується контроль за результатами прий-
нятих рішень, прискорюється отримання інформації про стан об’єкта управління і навколишнього середовища, а також уможливлюється швидше реагування на зміну цих станів. Усе це робить систему управління менш інерційною, більш гнучкою, дає їй змогу оперативно втручатися у процес управління.

Одним із найважливіших завдань при побудові структури є визначення міри централізації, яка забезпечує необхідний ступінь надійності та економічності, оперативну гнучкість прийняття рішень, що сприяє досягненню основної цілі.

Структура систем управління в економіці будується за галузевим або територіальним принципом. Галузевий принцип дозволяє здійснювати єдину технічну і економічну політику в кожній галузі. Він застосовується в тих випадках, коли йдеться про складні, специфічні види виробництва, проектування, будівництва, про розвиток і впровадження наукових досліджень у виробництво певного типу. Якщо ставиться завдання комплексного використання різних матеріальних ресурсів у даному районі країни, структура управління будується за територіальним принципом. За цим самим принципом побудовано органи державного адміністративного управління.

13.2. Ієрархічні системи управління

Найбільшого поширення набули системи управління з ієрархічною, або багаторівневою структурою. Ієрархія — це розташування частин та елементів у порядку від вищого до нижчого. У системах з такою структурою існує розділ функцій управління між органами чи підрозділами різного рівня або рангу. Керуючий орган деякого рівня ієрархії управляє кількома органами нижчого рівня, що перебувають у його підпорядкуванні, і сам керується органом вищого рівня.

Однією з найважливіших цінних властивостей ієрархічної системи управління є можливість розподілу функцій управління за рівнями системи, прийняття рішень стосовно різних завдань у підрозділах різного рівня. Це дає змогу зосередити розв’язання стратегічних завдань на вищих рівнях управління, де їх розв’я­зання найбільш ефективне. Тактичні завдання залежно від їхньої складності та необхідних ресурсів можуть розв’язуватися на ниж­чих рівнях, що забезпечує оперативність прийняття рішень, і здебільшого — вищу точність.

Для ієрархічної системи з розподілом функцій управління за рівнями характерна відома автономність окремих органів управління проміжних і нижчих рівнів у тому сенсі, що кожний із них самостійно, у межах своїх повноважень, визначених дорученими йому функціями і заданими обмеженнями, управляє підлеглими йому підрозділами.

Іншою характерною особливістю ієрархічних систем є наявність спільної цілі для всієї системи і окремих цілей для підсистем. Ці цілі не завжди збігаються, а іноді навіть суперечать одна одній або конкурують між собою. Отже, існує реальна небезпека того, що деяка підсистема, намагаючись досягти поставленої перед нею мети, може діяти всупереч спільній цілі системи.

Наявність загальних обмежень, що стає особливо помітною зі зниженням рівня керуючого органу, зумовлює взаємний вплив підсистем у процесі їх функціонування. Такі обмеження можуть мати вигляд, наприклад, спільних ресурсів. Тоді посилення активності однієї підсистеми призводить до зменшення частки ресурсів іншої, і навпаки. У цих випадках рішення має приймати орган управління вищого рівня в інтересах усієї системи, інакше ресурси будуть розподілені під впливом випадкових чинників або буде прийнято компромісне рішення.

В ієрархічних СУ управління підсистемами нерідко здійснюється в умовах неповної інформації, коли підсистемі вищого рівня можуть бути не повністю відомі цілі та обмеження підсистем нижчих рівнів.

Як випливає з визначення ієрархічної системи, стосовно кожної підсистеми деякого рівня можна виокремити підлеглі їй підсистеми — безпосередньо або (для підсистем, розташованих нижче за рівнями ієрархії) через проміжні підсистеми. Аналогічно можна виокремити підсистеми вищої ланки управління, яким підпорядковується дана. Сукупність всіх підсистем як вищої ланки, так і підлеглих щодо даної називають її вертикаллю. Усі підсистеми, належні одній вертикалі, називають підпорядкованими. Зв’язки між підсистемами різних рівнів називають вертикальними, а між підсистемами одного рівня — горизонтальними. Для кожної підсистеми зв’язки з усіма підлеглими їй підсистемами називають внутрішніми, а решту — зовнішніми.

До найважливіших властивостей ієрархічних структур можна віднести такі:  вертикальне підпорядкування;  пріоритет дій підсистем вищого рівня (право втручання);  взаємозалежність дій вищих та нижчих рівнів структури;  елементи верхнього рівня ієрархії мають справу з більшими підсистемами та з ширшими аспектами поводження системи в цілому;  періоди прийняття рішень для елементів верхнього рівня біль­ші, ніж для елементів нижчих рівнів;  верхні рівні мають справу з повільнішими проявами системи;  опис проблеми на верхньому рівні менш структурований та формалізований, містить більше невизначеностей.

13.3. Види організаційних структур

Адміністративно-організаційна система управління може мати структуру одного з таких типів: лінійну, функціональну, лінійно-штабну, матричну.

Лінійна структура управління забезпечує прямий вплив на об’єкт управління. Усі функції управління кожним об’єктом у такому разі зосереджені в одному місці.

У лінійній структурі управління повною мірою втілюється принцип жорсткого підпорядкування, керівник несе повну відповідальність за результати роботи підлеглих йому підрозділів. Якщо управління здійснюється правильно, підлеглі не можуть отримувати суперечливі й не пов’язані між собою завдання та розпорядження.

Проте за лінійної структури управління кожний керівник має володіти різносторонніми знаннями, необхідними для ефективного управління різнотипними підлеглими підрозділами. Зі зростанням кількості рівнів ієрархії, кількості підлеглих підрозділів і специфічних особливостей кожного з них це завдання стає дедалі важчим.

У разі функціональної структури управління для виконання певних функцій системи створюються спеціальні служби — планова, фінансова, виробничо-диспетчерська, технологічна, збуту тощо. Вони подають підпорядкованим підрозділам обов’язкові для виконання рішення в межах своїх повноважень; на них покладаються відповідальність та контроль за здійсненням зазначеними підрозділами потрібних функцій.

Функціональна структура дає змогу залучати до керівництва фахівців у певних галузях, більш компетентно розв’язувати поточні питання, розвантажувати й спрощувати роботу керівників вищого рівня. Функціональне управління не виключає лінійного, але дещо обмежує роль лінійних керівників.

Водночас функціональне управління певною мірою порушує принцип єдиноначальності, оскільки виконавець отримує вказівки відразу від кількох функціональних керівників.

У системі управління з функціональною структурою існує небезпека гіпертрофованого підвищення значення функціональних органів управління на шкоду інтересам організації як єдиного цілого. ОПР схильна вважати свої функції першорядними, нерідко переоцінюючи значення свого підрозділу в рамках організації.

Усередині організації вертикальні зв’язки з виконання окремих функцій значно сильніші, ніж горизонтальні зв’язки між функція­ми. Чим далі по горизонталі розташовані два керівники, тим менш вони схильні брати до уваги взаємні прохання або вимоги.

Підготовка та затвердження планів всередині організації, а надалі і контроль за їх виконанням здійснюються по вертикалі. План усієї організації часто являє собою просте об’єднання, зведення окремих функціональних планів, лише з частковим урахуванням інтересів організації в цілому (що іноді навіть відбивається в назві плану — «зведений план»). Це суперечить інтересам організації і зв’язкам всередині неї, які за своєю природою є в багатьох випадках горизонтальними, міжфункціональними та призводить до небажа­ного роздрібнювання процесів управління.

Недоліком функціональних структур є те, що в окремих підрозділів виникає прагнення до самозбереження, часто чиниться опір будь-яким змінам, які проводяться в інтересах усієї організації. Ось чому практично всі спроби скорочувати бюрократичний апарат не мали успіху.

У процесі розвитку лінійного і функціонального управління виникло їх органічне поєднання — лінійно-штабна структура управління. За такої структури при керівникові організації створюється один чи кілька осередків або окремих виконавців, відповідаль­них за певні функції управління. Такий осередок, що являє собою своєрідний виробничий штаб, складається з фахівців, компетентних у певній галузі. Вони відіграють роль помічників і консультантів керівника, контролюючи виконання підрозділами організації даної функції та готуючи для керівника плани й рішення у своїй галузі.

Для підвищення регулювальної та координувальної ролі управління, надання йому більшої гнучкості та динамічності вводяться нові види структур систем управління, зокрема, створюються спе­ціальні органи для управління перебігом робіт з окремого проекту в усіх або багатьох підрозділах організації.

Структури управління сучасних корпорацій будуються з урахуванням таких вимог:

організація поділяється на дільниці, розмір і значущість яких дає змогу керувати ними одній людині; між керівниками жорстко розмежовуються їхні обов’язки;  при керівниках створюються виробничі штаби;  забезпечуються умови для своєчасного розв’язання поточних проблем на нижчих організаційних рівнях.

Розрізняють три типи штабів: персональні — для надання допомоги керівникам робіт; корпораційні, що інформують вище керівництво про стан виробництва та діяльність керівників філій; інформаційно-консультативні штаби при керівниках філій.

Прагнення сумістити управління перебігом робіт з виконання спеціальних програм і проектів із лінійно-функціональним управ­лінням зумовило створення матричної структури управління.

У системах управління з матричною структурою підвищується роль горизонтальних інформаційних потоків. Керівник проекту визначає, що й коли має бути зроблено, а керівники підрозділів — як саме має бути виконано цю роботу.

Відповідальність за виконання певних робіт і відповідні права розподілені в цьому разі не так чітко, як за традиційних лінійної та лінійно-функціональної структур. Проте фахівці вважають, що матрична структура не послаблює, а зміцнює принцип централізованого керівництва, оскільки одночасно з підвищенням відповідальності за виконання кожного проекту загалом зберігається підпорядкованість по вертикалі відповідним керівникам.

Керівник проекту обмежує свою діяльність тільки рамками одного проекту. Для успішного завершення даного проекту він повинен планувати, організовувати й контролювати роботу підзвітних йому функціональних груп, що працюють у різних підрозділах. Оскільки люди працюють над одним проектом і відповідають за нього, зв’язки між ними стають ефективнішими, інтереси окремих підрозділів підпорядковуються завданням спільної справи.

У матричній структурі явно простежується тенденція підходу до управління не як до системи сталих ієрархічних взаємозв’язків, а як до процесу розв’язання певних проблем.

Спеціальні групи з окремих проблем створюються для виконання конкретного завдання. Коли закінчено окремі етапи роботи або вичерпано всю програму, виконавці переорієнтовуються на розв’язання іншої проблеми. На відміну від розподілу виконавців за функціональними підрозділами такий метод дає змогу використати кожного фахівця найкращим чином.

Проте в разі широкого використання матричної структури зі змінним складом виконавців за діловими проектами вся структура управління перестає бути стабільною. З одного боку, виникають ускладнення в спеціалізації і довготривалому використанні персоналу, з другого — фахівці почуваються невпевнено, не маючи тривалої перспективи своєї діяльності у відповідній організації.

Крім того, у матричній структурі неминуче виникає часткове дублювання функцій, що виконуються підрозділами, створеними для реалізації окремих проектів.

Системи зі змінною структурою. Загальноприйнятий підхід до структури систем управління полягає в тому, що структура від­биває сталі взаємозв’язки й лінії підпорядкування між окремими особами та підрозділами певної організації. При цьому передбачається, що такі взаємозв’язки й підпорядкування доволі жорстко зафіксовані, причому не тільки функції, а й склад керівників і співробітників підрозділів вважається стабільним. Структура організації являє собою, згідно з цими поглядами, щось статичне, застигле або таке, що дуже мало змінюється в часі.

У такій стабільності є свої переваги. З плином часу цілком природно, іноді неформально фіксується розподіл функцій між підрозділами та співробітниками. Люди пристосовуються одне до одного — відомо, хто за що відповідає, хто на що здатний, кому яка справа краще вдається, хто на яке довір’я заслуговує. Завдяки багаторічним, усталеним, побудованим на взаємному довір’ї стосункам між співробітниками багато які питання розв’язуються значно простіше і швидше, ніж тоді, коли ці самі посади обіймають щоразу нові люди. Якщо в організації існує здоровий соціаль­но-психологічний клімат, то формується колектив, можливості
якого істотно більші, ніж сума можливостей окремо взятих людей, його складових (ефект синергії). Проте така консервативна, стала структура порівняно швидко приходить у суперечність із постійними змінами зовнішніх умов.

Узгодження структури організації та її складу з умовами, що змінилися, можна досягти періодичними реорганізаціями. Одночасно з більшою або меншою перебудовою структури — організацією нових та ліквідацією або зміною функцій деяких наявних підрозділів — проводять зміни у складі керівників і виконавців.

Однак така капітальна реорганізація неминуче пов’язана з деяким тимчасовим, а іноді й тривалим зниженням ефективності діяльності організації в цілому. Відбувається злам сталих відносин між організаціями і людьми, зв’язків і взаємозалежностей, усталених традицій та звичних дій. Установлення нових зв’язків, засвоєння нових правил та інструкцій вимагає часу.

Сучасна тенденція у проектуванні організаційних структур полягає у створенні гнучких, адаптивних структур. Такі динамічні СУ мають структуру, що постійно змінюється. Окремі організаційні елементи — відділи, підвідділи, групи — створюються і відмирають у міру необхідності, для розв’язання нової проблеми, виконання певної програми або проекту. Відповідно змінюється і склад цих підрозділів. Такий підхід добре реалізовується, наприклад, у разі використання описаної щойно матричної структури управління.

Системи зі змінною структурою, добре пристосовуючись до умов зовнішнього середовища, дають потенційну можливість високої ефективності організації в досягненні поставлених перед нею цілей. Однак ці можливості можуть бути повною мірою реалізовані тільки за умови врахування принаймні двох чинників — планування та управління діяльністю самої організації, а також психологічних аспектів.

У процесі планування та управління діяльністю організації зазначеного типу необхідно постійно виявляти проблеми, що виникають, прогнозувати їхню важливість та необхідні для розв’язання ресурси; визначати, коли та які підрозділи потрібно створити, яким має бути їхній склад, які підрозділи і з якою швидкістю потрібно скорочувати, як забезпечити найбільш ефективне розв’язання наявних проблем, використавши фахівців із максимальною віддачею; коли і яких фахівців потрібно залучати додатково або звільняти у зв’язку з недоцільністю подальшої їхньої діяльності.

Патологічні структури. На практиці нерідко вдаються до поділу систем на підсистеми, порушуючи нормальні зв’язки між підсистемами, розміщеними на різних ієрархічних рівнях. Найпростіший приклад патології — подвійне підпорядкування, коли для деякого підрозділу або організації існують дві вертикалі. Щоб такий підрозділ міг функціонувати нормально, необхідне дуже чітке розмежування функцій між підрозділами

Існують ситуації, коли подвійне підпорядкування здійснюється тимчасово, на певний період. Наприклад, широко практикується тимчасове відрядження співробітника або групи у розпорядження іншої організації. При цьому зі старих зв’язків підпорядкування зберігаються лише найсильніші: за колишнім керівництвом зберігається право відкликання співробітників, покарань і заохочень. Решта функцій управління передається новому керівництву.

У деяких випадках подвійне підпорядкування регламентується навмисним розмежуванням функцій. Скажімо, на підприємствах з оперативним черговим персоналом (електростанції, нафтопереробні і нафтохімічні заводи тощо) персонал однієї зміни, що чергує в різних цехах, в адміністративному плані стає підлеглим керівництву відповідного цеху, а в оперативному — начальнику зміни.

В ієрархічній структурі кожна підсистема зі зниженням рівня управління поділяється на підлеглі їй підсистеми, коли кожній підсистемі має бути підпорядковано не менш як дві підсистеми нижчого рівня. Однак на практиці трапляються випадки існування лише однієї підлеглої підсистеми, а це означає, що один із рівнів управління є зайвим, підміняє собою керівництво іншого рівня.

Ще один тип порушень в ієрархічній структурі — це так зване міжрангове управління. Центральний орган системи управляє підрозділами нижчого рівня через проміжні підрозділи, а деяким підрозділом — безпосередньо, минаючи проміжні рівні або ранги. Тоді центр якоюсь мірою виконує не властиві йому функції, що неминуче обмежує його можливості з управління іншою частиною системи.

Для розвантаження центру, підвищення оперативності управління і в деяких інших ситуаціях діють навпаки: центр частину своїх функцій передає нижчим підрозділам або керівник — одному зі своїх підлеглих. Таке передання функцій управління називають делегуванням повноважень. Підлеглий дістає частково права свого начальника і діє від його імені. Такий підхід часто буває доволі ефективним, оскільки дає змогу швидше дістати й переробити більше інформації, ніж це міг би здійснити сам началь­ник, завантажений виконанням інших функцій.

13.4. Завдання аналізу та синтезу систем управління

Можна виокремити такі етапи аналізу та синтезу СУ.

Структурний аналіз і синтез. Структурний аналіз має на меті виявити статичні характеристики системи шляхом поділу її на елементи й підсистеми різного рівня та аналізу зв’язків між ними. Об’єктами структурного аналізу є варіанти структур СУ, які формуються у процесі її декомпозиції. Сутністю структурного синтезу є побудова (реорганізація) СУ, яка має бажані властивості. Структурний синтез проводиться з метою обґрунтування множини елементів, зв’язків, відношень, що забезпечать у сукупності максимальну відповідність СУ заданим вимогам.

Функціональний аналіз і синтез. Функціональний аналіз полягає у визначенні динамічних властивостей системи вивченням процесів зміни її станів із часом залежно від застосовуваних алго-ритмів (способів, методів, законів) управління її функціонуванням. Метою функціонального синтезу є обґрунтування оптималь­них характеристик функціонування СУ, тобто процесів зміни її
станів із часом відповідно до поставленої мети.

Інформаційний аналіз і синтез. Інформаційний аналіз здійснюється з метою дослідження кількісних і якісних характеристик інформаційних потоків у СУ. Сутністю інформаційного синтезу є обґрунтування необхідного обсягу, терміну та форм подання інформації, методів її передавання, обробки та зберігання для проектованої структури та алгоритму функціонування СУ.

Параметричний аналіз і синтез. Сутністю параметричного аналізу є визначення групи часткових та узагальнених показників, які характеризують всі важливі властивості СУ та ефективність її функціонування. Параметричний синтез полягає в обґрунтуванні необхідної та достатньої кількості показників, що дають змогу оцінювати бажані властивості системи.

Жодна організована система не може існувати без управління. Однак важливо, в який спосіб організовано управління, яку частку ресурсів системи воно відволікає на себе. З одного боку, чим більше рівнів або проміжних ланок містить СУ, тим більше ресурсів витрачається на апарат управління, тим воно дорожче. Ясно, що при цьому ефективність системи знижується.

З другого боку, чим менше елементів у структурі управління, тим більше завантажені ті, що залишаються, тим гірше справляються вони зі своїми функціями, що зрештою також тягне за собою зниження ефективності системи в цілому.

Тому можна говорити про деяку оптимальну структуру управління, що забезпечує максимальну ефективність системи в цілому. Однак такий критерій є надто загальним, щоб його можна було використовувати для оптимізації структури. Зв’язок між структурою управління та ефективністю системи надзвичайно важко виявити і тим більше формалізувати, оскільки йдеться про адміністративно-організаційні системи.

Досить згадати, що одним з основних елементів у контурі управління є люди, від індивідуальних характеристик яких значною мірою залежить якість управління. Ці характеристики важко піддаються кількісному оцінюванню і тому практично не використо­вуються під час розробки систем управління. Більш того, сама ефек­тивність відповідних систем в багатьох випадках не може бути ви-
значена однозначно. Найчастіше це набір параметрів, іноді супереч­ливих, за значеннями яких важко встановити точно міру ефектив­ності функціонування навіть близьких за характером систем.

Таким чином, оптимізація структури управління можлива лише за деяким частковим критерієм, частіше за все пов’язаним з використанням технічних засобів. Наприклад, можна оптимізувати структуру за критерієм загальної вартості або капітальних витрат на технічні засоби; мінімізації часу передавання повідомлень від джерел до центру системи тощо.

Однак для життєдіяльності системи набагато важливішою є загаль­ніша постановка задачі. Тому доцільно говорити про деяку раціо-
нальну структуру управління, що забезпечує досить ефективне функціонування системи за прийнятних сукупних витрат на управління.

За такої постановки синтез оптимальної структури під час розробки системи замінюється вибором раціонального варіанта структури управління. Спочатку визначається набір параметрів, сукупність яких придатна для оцінювання якості системи управління. Далі на основі досвіду та інтуїції розробників, з урахуванням структури наявної системи і аналогічних систем виокремлюється обмежена кількість варіантів структури, кожний з яких задовольняє необхідні обмеження. Варіанти, які залишилися, оцінюються за взятим набором параметрів, що дає змогу вибрати з них найкращий.

Контрольні запитання та завдання

Наведіть загальну характеристику систем управління.

Охарактеризуйте переваги та недоліки централізації та децентралізації в управлінні.

Чому більшість СУ будується за ієрархічним принципом?

Побудуйте спрощену графічну схему управління галуззю економіки, містом, комерційним банком, підприємством, університетом. Проаналізуйте спільні риси та відмінності.

Опишіть відмінності між різними типами адміністративно-організаційних структур управління.

У чому полягають завдання аналізу та синтезу СУ?

14.1. Концептуальні засади синергетики та нелінійної динаміки

Сучасним етапом розвитку ідей кібернетики, загальної теорії систем та системного аналізу можна вважати науковий напрямок, відомий як синергетика (грец. «synergeia», «synergetikos» — такий, що діє спільно, спільний, сприяння, співробітництво). Цю назву запропонував професор Штутгартського університету Герман Хакен, якого вважають засновником синергетики. Зазначений термін акцентує увагу на узгодженості, взаємодії частин системи у процесі утворення її структури як єдиного цілого.

Поряд із терміном синергетика часто використовують терміни теорія складності (complexity theory), теорія динамічних (складних) систем (dynamic (complex) system theory), теорія хаосу (chaos theory), нелінійна динаміка (nonlinear dynamic) або більш загальний — нелінійна наука (nonlinear science), увиразнюючи при цьому принципову нелінійність, нерівноважність, складність досліджуваних явищ. Фундаментальні результати в цій галузі здобули Г. Хакен, І. Пригожин, Б. Мандельброт, М. Мойсєєв, С. Курдюмов, Г. Малинецький, О. Самарський, О. Тихонов, Р. Том та інші. Надалі послуговуватимемося термінами «синергетика», «нелінійна динаміка», «теорія складних систем».

Синергетика вивчає складні системи, які містять багато підсистем різної природи, маючи на меті виявити, в який спосіб взаємодія таких підсистем приводить до виникнення нових стійких просторових, часових чи просторово-часових структур або режимів функціонування, а також досліджує характерні масштаби й швидкості перехідних процесів.

Синергетика акцентує увагу на явищах, що виникають завдяки спільній дії кількох (багатьох) факторів, кожний з яких окремо до цього явища не приводить. Синергетику часто визначають як науку про самоорганізацію.

Під самоорганізацією розуміють мимовільне, спонтанне самоускладнення форми (у загальнішому випадку — структури системи та законів її функціонування) унаслідок повільної та плавної зміни її параметрів. Іншими словами, самоорганізація — це утворення впорядкованих структур із хаосу. Отже, синергетика являє собою нову узагальнювальну науку, що вивчає основні закони самоорганізації складних систем.

Винятково важливим етапом у розвитку нового, нелінійного способу мислення було виникнення та уточнення поняття патерну (наближено можна перекласти як шаблон, зразок). Засновник тектології (в якій було закладено основні кібернетичні принципи та ідеї ще на початку ХХ ст.) О. Богданов першим спробував об’єднати поняття організації, патерну та складності в послідовну теорію систем. Кібернетика зосередилась на патернах зв’язку та управління — зокрема на патернах кругової причинності, на яких ґрунтується концепція зворотного зв’язку; завдяки цьому в кібернетиці вперше було чітко розмежовано патерн організації системи та її фізичну структуру.

За останні двадцять років було знайдено та проаналізовано недостатні «елементи» — концепцію самоорганізації (синергетика) та нову математику складних систем. Нова математика складних систем є, по суті, математикою візуальних патернів — дивних атракторів, фазових портретів, фракталів тощо, які аналі­зуються в контексті топологічної структури, вперше розробленої А. Пуанкаре.

Синергетика та кібернетика як міждисциплінарні наукові напрямки мають багато спільного. Системи, що є предметом їх вивчення, можуть бути різної природи (хімічні, фізичні, біологічні, економічні, соціальні тощо). Зрозуміло, що ці системи змістовно вивчаються багатьма іншими спеціальними науками. Кожна з них досліджує певну множину об’єктів своїми, тільки їй притаманними методами, формуючи результати «власною» мовою
опису. Але через наявну диференціацію науки досягнення однієї з її галузей часто стають важкозрозумілими або й недоступними для фахівців з інших наукових напрямків.

Тим часом синергетика та кібернетика абстрагуються від специфічної природи систем, намагаючись описувати їх функціонування (еволюцію) універсальною мовою. Це досягається відшуканням ізоморфізму різних досліджуваних специфічними засоба­ми багатьох наук явищ, які можна, проте, описати однаковими (однотипними) моделями. Отже, виявляючи єдину модель, спільну для зазначених явищ, синергетика та кібернетика переносять результати однієї галузі науки в інші.

Але між синергетикою та кібернетикою існують і певні відмінності. Кібернетика та різноманітні напрямки загальної теорії систем вивчають процеси підтримання рівноваги (процеси гомеостазису) у системах за рахунок зворотних зв’язків, а також процеси управління такими системами. Кібернетика намагається описувати нелінійні процеси еволюції систем за допомогою лінійних моделей (принаймні на окремих етапах, коли це можливо).

У синергетиці на відміну від кібернетики акцент робиться не на процесах управління та обміну інформацією, а на принципах побудови, організації, розвитку та самоускладнення систем і їхній еволюції. Синергетика досліджує принципово нерівноважні (такі, що перебувають далеко від стану рівноваги) системи, принципово нелінійні (такі, що за певних умов деякі збурення — внутрішні або зовнішні — можуть привести систему до принципово нових станів, до виникнення нових стійких структур) процеси еволюції систем.

Головні відмінності між синергетикою та кібернетикою разом із системними дослідженнями наведено в табл. 14.1.

Таблиця 14.1

СПІВВІДНОШЕННЯ СИСТЕМНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ І СИНЕРГЕТИКИ

З погляду синергетики процеси у відкритих нерівноважних системах характеризуються принциповою нелінійністю, присутністю зворотних зв’язків, що зумовлює появу якісно нових можливостей здійснення керуючого впливу на систему.

Синергетика дала змогу по-новому зрозуміти відмінність між випадковими та детермінованими процесами. Довгий час вважалось, що існують лише два класи об’єктів. Перший становлять детерміновані. Якщо відомий аналітичний вигляд закону, за яким вони функціонують, то спрогнозувати їхнє поводження можна практично на довільний часовий інтервал. До другого класу належать стохастичні об’єкти, поводження яких описується деяким випадковим процесом (є його реалізацією). Для цього класу процесів неможливо зробити детермінований прогноз, але якщо ми достатньо довго спостерігатимемо за їхнім поводженням, то зможемо знайти відповідні розподіли ймовірності та обчислити статистичні характеристики (середні, дисперсії, інтервали довіри тощо) і спрогнозувати їхнє поводження в «середньому» з певною ймовірністю.

Але дослідження кількох останніх десятиріч показали, що існує ще один важливий клас об’єктів. Формально вони є детермінованими, тобто якщо ми точно знаємо їхній поточний стан, то можемо спрогнозувати подальше їхнє поводження, але тільки на доволі обмежений проміжок часу. Навіть як завгодно мала неточ­ність у визначенні поточного стану таких систем призводить з
часом до розбігання їхніх можливих траєкторій розвитку. Система починає поводитися хаотично, початкові відхилення з часом наростають і незначні причини призводять до вельми відчутних наслідків. Такі системи, що дуже чутливі до початкових умов, дістали назву хаотичних.

Отже, підсумовуючи сказане, доходимо висновку, що правила, які визначають поводження складних систем, істотно відрізняються від тих, за якими функціонують рівноважні системи і які є основою традиційних класичних методів аналізу систем. Тому саме синергетика, яка акцентує увагу на явищах еволюції у відкритих нерівноважних системах, на виникненні порядку із хаосу, явищах самоорганізації, зі своїм міждисциплінарним арсеналом методів та алгоритмів може стати адекватним інструментом для аналізу складних динамічних процесів, що відбуваються в сучасному суспільстві та економіці.

До основних понять синергетики належать поняття структури, хаосу, еволюції, дисипативної системи, дивного атрактора, точок біфуркації, фракталів тощо, які ми розглянемо далі.

14.2. Основні поняття теорії складних систем

Відкриті системи та дисипативні структури. Синергетика вивчає відкриті нерівноважні системи. Нагадаємо, що відкрита система — це система, що обмінюється речовиною, енергією й інформацією з навколишнім середовищем.

Розглянемо властивості відкритих систем, що перебувають далеко від стану рівноваги.

Такі системи нестійкі, і тому повернення до початкового стану для них є необов’язковим. У деякій точці, що називається точкою біфуркації (розгалуження), поводження системи стає неоднозначним.

За наявності нестійкості змінюється роль зовнішніх впливів. За певних умов незначний вплив на відкриту систему може призвести до значних та непередбачуваних наслідків.

У відкритих системах, далеких від рівноваги, виникають ефекти узгодження, коли елементи системи корелюють, узгоджують своє поводження. Таке кооперативне, погоджене поводження характерне для систем різних типів: атомів та молекул, клітин та живих істот, економічних об’єктів та соціальних груп тощо.

У результаті погодженої взаємодії відбуваються процеси впорядкування, виникнення з хаосу певних структур, перетворення й ускладнення систем. Чим більше відхилення від стану рівноваги, тим сильніше охоплення кореляціями та взаємозв’язками, тим вища узгодженість процесів, що відбуваються навіть у віддалених областях і, на перший погляд, не зв’язані один з одним.

Відкриті системи, в яких спостерігається приріст ентропії, називають дисипативними. У дисипативних системах енергія впорядкованого руху переходить в енергію невпорядкованого (хаотичного) руху, тобто відбувається дисипація. Якщо закриту систему виведено зі стану рівноваги, то вона завжди намагається набути стану з максимальною ентропіє. У відкритій системі відплив ентропії може врівноважити її зростання в самій системі, і тому існує ймовірність виникнення стаціонарного стану.

Якщо ж відплив ентропії перевищує її внутрішнє зростання, то виникають і розростаються до макроскопічного рівня великомасштабні флуктуації, а за певних умов у системі починають відбуватися самоорганізаційні процеси, спрямовані на створення впорядкованих структур.

Отже, у відкритих системах, що обмінюються з навколишнім середовищем потоками речовини чи енергією, однорідний стан рівноваги може втрачати стійкість і незворотно переходити у стаціонарний стан, стійкий щодо малих збурень Такі стаціонарні стани дістали назву дисипативних структур.

Термін «дисипативна структура» запропонував І. Пригожин, засновник «бельгійської школи» синергетики, яка розвиває термодинамічний підхід до самоорганізації. Основне поняття синер­гетики Хакена — поняття структури як стану, що виникає в результаті когерентного (погодженого) поводження великої кількості частин, — бельгійська школа замінює більш спеціальним поняттям дисипативної структури.

Виникнення дисипативних структур має граничний характер. Нерівноважна термодинаміка пов’язала граничний характер із нестійкістю, довівши, що нова структура завжди є результатом розкриття нестійкості внаслідок флуктуацій. Отже, ідеться про «порядок через флуктуації».

Таким чином, дисипативні структури є результатом розвитку власних внутрішніх нестійкостей у системі. А процеси самоорганізації можливі, коли відбувається обмін енергією і масою з нав­колишнім середовищем, тобто підтримується стан поточної рівноваги, причому втрати на дисипацію компенсуються ззовні.

Хаос і порядок. Поняття «порядок» тісно пов’язане з поняттям структури. Іншими словами, порядок передбачає наявність певної структури — ключового поняття для всіх наук, що вивчають ті чи інші аспекти процесів самоорганізації. Отже, структура припускає певну «жорсткість» об’єкта — здатність зберігати тотожність самому собі за різних зовнішніх і внутрішніх змін.

Інтуїтивно поняття структури протиставляється поняттю хаосу як стану, що цілком позбавлений будь-якої структури. Однак, як свідчать новітні дослідження, таке уявлення про хаос є настіль­ки ж поверховим, наскільки поверховим є уявлення про фізич-
ний вакуум у теорії поля як про порожнечу: хаос може бути різним, мати різний ступінь упорядкованості, різну структуру тощо.

Тому в синергетиці під хаосом розуміють нерегулярний рух, що описується детерміністичними рівняннями. Його ще називають динамічним хаосом. Дослідження різних сценаріїв переходу до динамічного хаосу пов’язане з аналізом властивостей так званих дивних атракторів.

Атрактори. Вивчаючи динаміку систем, їх часто описують системою диференціальних рівнянь. Зображення розв’язків цих рівнянь як руху деякої точки у просторі з розмірністю, яка дорів­ює кількості змінних, називають фазовими траєкторіями си-
стеми. Аналіз поводження фазової траєкторії (у сенсі її стійкості) показує, що існують випадки, коли всі розв’язки системи зосереджуються зрештою на деякій замкненій підмножині. Така підмножина називається атрактором (від англ. «to attract» — притягувати).

Атрактор має певну «область притягання» (множину початкових точок). Із часом усі фазові траєкторії , що зародилися у множині початкових точок, тяжіють (намагаються збігтися) саме до цього атрак­тора. Рух точки в таких випадках має періодичний характер.

Основні типи атракторів такі:  стійкі граничні точки;  стійкі цикли (траєкторія тяжіє до деякої замкненої кривої);  тори (до поверхні яких наближається траєкторія).

Нехай, наприклад, точка, рухаючись у фазовому просторі, залишає за собою слід, тоді динамічному хаосу відповідає клубок траєкторій.

Для сталих коливань, що відповідають динамічному хаосу, запропоновано назву дивний атрактор. Рух точки на таких атракторах є нестійким, хистким, будь-які дві траєкторії на них завжди розбігаються, мала зміна початкових умов приводить до різних шляхів розвитку. Іншими словами, динаміка систем із дивними атракторами є хаотичною.

Ці атрактори дістали таку назву, бо вони у фазовому просторі справді виглядають незвично, являючи собою ні точку, ні періодичну траєкторію, ні поверхню. Їх порівнюють іноді з поверхнею, що складається з нескінченної множини шарів. А головне полягає в тому, що взятий навмання розв’язок блукатиме в дивному атракторі і через значний проміжок часу пройде досить близько до будь-якої його точки. Тут дуже високий ступінь чутливості до початкових умов.

Приклад. Розглянемо атрактор Лоренца. Американський метеоролог Е. Лоренц виявив складне поводження порівняно простої динамічної системи, що складається з трьох звичайних нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку й описує конвекцію повітря:

де s, r, b — деякі параметри.

При певних значеннях параметрів траєкторія системи поводилася настільки химерно, що здавалась випадковою та хаотичною.

Комп’ютерний аналіз системи Лоренца привів до принципового результату: з переходом до режиму динамічного хаосу, тобто неперіодичного руху в детермінованих системах, де майбутнє однозначно визначається минулим, горизонт прогнозування поводження системи стає обмеженим. Річ у тім, що коли ми знову візьмемо дві близькі траєкторії, то вони розбігаються.

Швидкість розбігання визначається так званим показником Ляпунова, і від цієї величини залежить інтервал часу, на який можна подати прогноз. При цьому для кожної системи існує свій горизонт прогнозу.

Унікальною властивістю дивних атракторів є масштабна самоповторюваність. Це означає, що, збільшуючи ділянку атрактора, яка містить нескінченну кількість кривих, переконуємося: атрактор на ній подібний до великомасштабного подання його частини. Об’єкти, що мають здатність нескінченно повторювати власну структуру на мікрорівні, дістали спеціальну назву — фрактали.

Фрактали. Властивість об’єктів виглядати в кожному як завгодно малому масштабі приблизно однаково називають масштабною інваріантістю, а множини, що мають цю властивість, — фракталами (від англ. «fractal» — дробовий, неповний, частковий). Фрактали — це геометричні об’єкти з так званою дробовою розмірністю. Дивний атрактор Лоренца — один із таких фракталів.

Часто вважають, що розмірність об’єкта (тіла, поверхні, чи кривої) є його внутрішньою характеристикою. Але засновник фрактальної геометрії Б. Мандельброт звернув увагу на те, що розмірність об’єкта може залежати від спостерігача, точніше від зв’язку об’єкта із зовнішнім світом.

Приклад. Уявімо, що ми розглядаємо клубок ниток. Коли відстань, що відокремлює нас від клубка, досить велика, ми бачимо клубок як точку, позбавлену будь-якої внутрішньої структури, тобто геометричний об’єкт з евклідовою (інтуїтивно сприйманою) розмірністю 0.

Наблизившись до клубка на деяку відстань, ми бачитимемо його як плоский диск, тобто як геометричний об’єкт розмірності 2. Наблизившись до клубка ще на кілька кроків, ми побачимо його у вигляді кульки, але не зможемо розрізнити окремі нитки — клубок стане геометричним об’єктом розмірності 3. З подальшим наближенням до клубка ми побачимо, що він складається з ниток, тобто евклідова розмірність клубка стане такою, що дорівнює 1. Нарешті, якби наші очі розрізняли окремі атоми, то, проникнувши всередину нитки, ми побачили б окремі точки — клубок розсипався б на атоми, став геометричним об’єктом розмірності 0.

Мандельброт запропонував за міру «нерегулярності» (зрізаності, звивистості) взяти розмірність Безиковича—Хаусдорфа. Ця розмірність завжди не менша за евклідову і збігається з нею для регулярних геометричних об’єктів (кривих, поверхонь і тіл, досліджуваних у евклідовій геометрії).

Розглянемо ідею, яку покладено в основу обчислення зазначеної розмірності. Поділимо відрізок прямої на N рівних частин. Тоді кожну частину можна вважати копією всього відрізка, змен­шеною в r раз. Очевидно, що N та r пов’язані між собою спів-
відношенням Nr = 1. Якщо квадрат розбити на N рівних квадратів з площею, у 1/r2 раз меншою за його площу, то аналогічне співвідношення запишеться у вигляді Nr2 = 1. А коли куб розбити на N рівних кубів, об’єм яких у 1/r3 раз менший за його об’єм, то відповідне співвідношення набере вигляду Nr3 = 1. У загальному випадку можемо записати:

Nrd = 1,  (14.1)

де d — розмірність об’єкта; N — кількість рівних підоб’єктів, на яку поділено вихідний об’єкт з коефіцієнтом подібності r.

Якщо деякий вихідний об’єкт (множину) можна розбити на N неперетинних підоб’єктів (підмножин), утворених масштабуванням оригіналу з коефіцієнтом подібності r, і d буде дробовим числом, то такий об’єкт (множину) називають самоподібним фракталом, а величину d — фрактальною розмірністю, явний вигляд якої знаходимо логарифмуванням обох частин виразу

Різниця між розмірністю Безиковича—Хаусдорфа та Евкліда — «надлишок розмірності» — може бути мірою відмінності геометричних образів від регулярних. Наприклад, плоска траєкторія руху броунівської частинки має розмірність, більшу від 1, але менше від 2: ця траєкторія вже не звичайна гладка крива, але ще не плоска фігура. Розмірність Безиковича—Хаусдорфа дивного атрактора Лоренца більша за 2, але менша за 3: атрактор Лорен-
ца вже не гладка поверхня, але ще не об’ємне тіло.

Багато природних об’єктів є фракталами (наприклад, берегові смуги, хмари, крижинки, дерева, скелі, нервова та кровоносна системи тварин і людини і т. ін.). На перший погляд може здатися, що теорія фракталів має суто теоретичну цінність і зовсім не стосується дослідження реальних економічних об’єктів. Проте насправді часові ряди багатьох фінансово-економічних показників (валютних курсів, курсів акцій) мають фрактальну структуру, і тому з метою їх дослідження можна використовувати апарат фрактального аналізу, зокрема R/S аналіз, який базується на обчисленні статистики Херста, що є мірою випадковості часового ряду (див. наступну тему).

Точки біфуркації. Динамічні системи, як правило, повільно змінюють характер свого поводження внаслідок незначної зміни внутрішніх або зовнішніх параметрів. Однак можуть існувати такі критичні значення параметрів, при яких система зазнає якісної перебудови і, відповідно, різко змінюється динаміка системи, наприклад втрачається її стійкість. Такі критичні значення парамет­рів називаються точками біфуркації.

Втрата стійкості відбувається, як правило, переходом від точки стійкості до стійкого циклу (м’яка втрата стійкості), виходом траєкторії зі стійкого стану (жорстка втрата стійкості), народженням циклів із подвоєним періодом тощо. З подальшою зміною параметрів можливе виникнення у фазовому просторі таких топологічних структур, як тор, а далі — дивних атракторів, тобто хаотичних процесів.

Поводження всіх систем, що самоорганізуються, у точках біфуркації характеризується загальними закономірностями. Розглянемо найважливіші з них.

Точки біфуркації часто провокуються зміною управляючих параметрів або підсистеми управління, що веде систему до нового стану.

Потенційних траєкторій розвитку системи багато, і тому точ­но спрогнозувати, до якого стану перейде система після прохо-
дження точки біфуркації, неможливо. Це пояснюється тим, що вплив середовища має випадковий характер.

Вибір траєкторії розвитку може бути також пов’язаний з життєздатністю і стійким типом поводження системи. Відповідно до принципу стійкості серед можливих форм розвитку реалізуються лише стійкі, а хисткі якщо й виникають, то швидко руйнуються.

Підвищення розмірності та складності системи спричинюється до збільшення кількості станів, за яких може відбуватися стрибок (катастрофа), і кількості можливих шляхів розвитку, тобто чим різнорідніші елементи системи і складніші її зв’язки, тим вона хисткіша.

Чим більше система нерівноважна, тим більшу кількість мож­ливих шляхів розвитку вона може вибирати в точці біфуркації.

Два близькі стани можуть породити зовсім різні траєкторії розвитку.

Однакові траєкторії розвитку можуть реалізовуватися неодноразово. Наприклад, серед соціальних систем є суспільства, що багаторазово обирали тоталітарні сценарії розвитку.

Часова межа катастрофи визначається «принципом максимального зволікання»: система робить стрибок тільки тоді, коли в неї немає іншого вибору.

У результаті розгалуження (біфуркації) виникають граничні цикли — періодичні траєкторії у фазовому просторі, кількість яких тим більша, чим більш структурно хисткою є система.

Катастрофа змінює організованість системи, причому не завжди в бік збільшення.

Отже, у процесі руху від однієї точки біфуркації до іншої відбувається розвиток системи. У кожній точці біфуркації система вибирає шлях розвитку, траєкторію свого руху.

У точці біфуркації відбувається катастрофа — перехід системи від області притягання одного атрактора до іншого. Як атрактор може виступати і стан рівноваги, і граничний цикл, і дивний атрактор (хаос). Систему притягає один із атракторів і вона в точці бі-
фуркації може стати хаотичною і зруйнуватися, перейти до стану рівноваги або вибрати шлях формування нової впорядкованості.

Якщо система притягається станом рівноваги, вона стає закритою і до чергової точки біфуркації живе за законами, властивими закритим системам. Якщо хаос, породжений точкою біфуркації, затягнеться, стане можливим руйнування системи, внаслідок чого її компоненти рано чи пізно ввійдуть як складові до іншої системи і притягатимуться вже її атракторами. Якщо, нарешті, як у третьому випадку, система притягається яким-не­будь атрактором відкритості, то формується нова дисипативна структура — новий тип динамічного стану системи, за допомогою якого вона пристосовується до умов навколишнього середовища, що змінилися.

14.3. Самоорганізація та етапи еволюції складних систем

У процесі свого розвитку довільна система проходить дві стадії: еволюційну (або адаптаційну) і революційну (стрибок, катастрофа). Під час розгортання еволюційного процесу відбувається повільне нагромадження кількісних і якісних змін параметрів системи та її компонентів, відповідно до яких у точці біфуркації система вибирає один із можливих для неї атракторів. У результаті цього відбувається якісний стрибок, і система формує нову дисипативну структуру, що відповідає вибраному атрактору.

Еволюційний етап розвитку характеризується наявністю механізмів, що гасять сильні флуктуації системи, її компонентів або середовища і повертають її до стійкого стану, властивого їй на цьому етапі. Через нагромадження в системі, її компонентах та зовнішньому середовищі змін здатність системи до адаптації спадає і зростає нестійкість. Поступово в системі зростає ентропія. Постає гостра суперечність між старим і новим у системі, а з досягненням параметрами системи і середовища біфуркаційних значень нестійкість стає максимальною і навіть малі флуктуації приводять систему до катастрофи — стрибка.

На цій фазі розвиток має непередбачуваний характер, оскільки він зумовлюється не тільки внутрішніми флуктуаціями (силу і спрямованість яких можна спрогнозувати, проаналізувавши історію розвитку і сучасний стан системи), а й зовнішніми. Це вкрай усклад­нює, а то й унеможливлює прогноз. Іноді висновки про майбутній
стан і поводження системи можна зробити, скориставшись «законом маятника» — стрибок може сприяти вибору атрактора, «протилежного» минулому. Після формування нової дисипативної структури система знову стає на шлях плавних змін, і цикл повторюється.

Але насправді розвиток реальних систем включає  в себе не тільки прогресивні атрактори, а й атрактори деградації (які з часом можуть змінитися прогресом, а можуть і привести систему до краху) та руйнування. Розглянемо, коли можливі деградація та руйнування системи.

Деградація системи може відбутися за таких умов.

Загальносистемні умови:  система гальмує процес переходу: зі збільшенням кількості нових ознак вона не змінює відповідно свого поводження через що ентропія її зростає, система перестає виконувати свої функції і дезорганізується; система вибирає неконструктивну траєкторію або сценарій розвитку, наприклад стає закритою; різко зменшується кількість компонентів, необхідних для функціонування; зростає кількість неефективних («баластових») компонентів.

Умови, що пов’язані з підсистемою управління:  підсистема управління в точці біфуркації намагається перевести систему на траєкторію, що не відповідає минулому та поточному станам системи (наприклад, «перестрибує» через етапи), або система вибирає один сценарій і відповідну йому дисипативну структуру, а підсистема управління «допомагає» їй будувати іншу;  підсистема управління (а не сама система, як у першому випадку) гальмує процес переходу в точку біфуркації;  підсистема управління після катастрофи не змінюється або змінюється недостатньо й у результаті тягне систему на старий, віджилий атрактор;  підсистема управління недостатньо узгоджена з підсистемами, компонентами або системою в цілому (наприклад, нав’язує системі стрибок при відсутності об’єктивних умов для нього);  для досягнення загальносистемних цілей ігнорується необхідність узгодження їх із цілями підсистем, тобто робиться спроба досягти загальносистемного оптимуму за рахунок підсистем;  підсистема управління не виконує своїх функції або гіпертрофує їх.

Руйнування системи може відбутися якщо: зазначені щойно умови деградації існують протягом тривалого часу, а зусилля з коригування структури й поводження системи або підсистеми управління недостатні, несвоєчасні, нерезонансні із системою тощо; зовнішнє середовище здійснює сильно впливає на систему;  внутрішні флуктуації руйнують зв’язки між компонентами системи;  внаслідок зовнішніх або внутрішніх флуктуацій система втрачає елементи, замінити які неможливо.

У процесі розвитку, що складається з циклічно повторюваних стадій еволюції та стрибків, система постійно переходить зі стійкого стану до хисткого та навпаки. Структурна і функціональна стійкість формується у процесі адаптації системи до нових зовнішніх і внутрішніх умов, що змінилися в результаті катастрофи, і зберігається протягом більшої частини еволюційної стадії.

Підвищенню стійкості системи сприяє дублювання головних її функцій. Інший підхід до підвищення стійкості системи в період еволюційного розвитку полягає у збереженні визначеної спеціалізації підсистем.

Наприклад, багато систем (зокрема, соціальні, економічні) мають у своєму складі «оперативні» та «консервативні» підсистеми. Перші з них наближаються до середовища, намагаючись «гасити» його негативні флуктуації та використовувати позитивні. Другі — віддаляються від середовища та намагаються зберігати якісну визначеність системи.

Коли зміни параметрів системи під впливом зовнішніх або внутрішніх флуктуацій перевищують її адаптаційні можливості, настає стан нестійкості (точка біфуркації), переломний для розвитку системи момент. Нестійкість часто виникає у відповідь на введення в систему нового компонента.

У точці біфуркації нестійкість підсилюється через те, що в системах завжди присутні флуктуації, які гасяться у стійкому стані. Але в результаті нелінійних процесів, які виводять параметри системи за критичні значення, такі флуктуації підсилюються і можуть спричинити стрибкоподібний перехід до нового стійкого стану з меншою ентропією, після чого цикл «плавний розвиток—стрибок», «еволюція—революція», «стійкість—нестійкість» повторюється.

Отже, стійкість та нестійкість є однаково необхідними у процесі розвитку будь-якої системи. Абсолютно хистка система не може протистояти флуктуаціям, не здатна до адаптації і швидко руйнується. Проте надто стійка система, придушуючи будь-які флуктуації, консервує свою структуру й поводження і тому не здатна змінитися якісно, вона позбавлена можливості розвитку, і її руйнування стає лише справою часу. Обидва типи систем приходять до хаосу, різниця між ними полягає в часі, що проходить до вибухового зростання ентропії.

Що ж є рушієм розвитку, що змушує систему змінювати свою якість? Висновки концепції самоорганізації значною мірою збігаються з висновками діалектики. Найбільш істотним джерелом процесу розвитку виступають суперечності. До найбільш істотних суперечностей можна віднести:

Суперечність між функцією і ціллю системи.

Суперечність між потребами системи в ресурсах і можливістю їх задоволення.

Суперечність між прагненням до порядку і хаосом (причому чим далі зайшло їхнє протистояння, тим вищий ступінь організованості системи, і навпаки).

Суперечність між прагненням системи до встановлення стійкого стану і засобами його досягнення. Останні забезпечують зміни та розвиток системи, що неминуче приводить її до нестійкого стану. Це відбувається в такий спосіб: система адаптується до середовища і внаслідок цього стає більш чутливою до флуктуацій, посилення флуктуацій викликає нестійкість, яка може спричинити стрибок).

Суперечність між цілями системи і цілями її компонентів.

Суперечність між процесами функціонування і розвитку. Хоча для того, щоб розвиватися, система має функціонувати
і не може функціонувати, не розвиваючись, у точці біфурка-
ції ці процеси стають гостро суперечливими. Інтереси розвитку та існування системи вимагають зміни її якості, а отже, зламу функціональних процесів, а в еволюційний період процеси функціонування стримують розвиток, згладжуючи флуктуації.

Суперечність між функціонуванням і структурою. В еволюційний період процеси функціонування більш пластичні, ніж структура системи, але їхня зміна, що здійснюється в інтересах системи, наштовхується на «жорсткість» незмінної структури. У момент стрибка структура змінюється дуже швидко, а функціонування відстає.

Суперечність між компонентами системи, які, нагромаджуючись, даються взнаки і на макрорівні.

Більшість суперечностей системи в еволюційний період згладжуються: зовнішнім ентропійним тенденціям і суперечностям тут протистоїть адаптація, а внутрішнім — функціонування («робота») системи.

Це досягається за рахунок належного управління. Проте свою неентропійну роль управління може відігравати тільки за наяв-
ності адекватних зворотних зв’язків. У протилежному випадку підсистема управління може генерувати руйнівні або сприятливі для деградації системи флуктуації, що сприяють прискоренню настання порогу самоорганізації. Проте навіть ідеальне управління в найкращому разіу здатне лише пом’якшити суперечності, що виникають.

Максимальні можливості щодо розв’язання назрілих суперечностей настають у момент катастрофи, а далі суперечності поступово нагромаджуються, і цикл повторюється. Можливості згладжування і розв’язання сеперечностей забезпечуються трьома способами: мінливістю, спадковістю (відтворенням) і добором, що відбувається у процесі конкуренції.

Властивість мінливості дає змогу системі варіювати на еволюційній стадії її поведінку, а на біфуркаційній — структуру. «Спадковість» (відтворення, здатність майбутнього залежати від минулого) вводить процеси мінливості у визначені межі, які зумовлені минулою структурою, станом і функціонуванням системи. А добір сприяє виживанню тих систем, в яких структура і функціонування, зумовлені минулим розвитком («спадковість»), здатні змінюватися відповідно до нових умов (мінливість) і адаптуватися до них.

Отже, адаптація не є єдиним чинником добору, і тим більше його наслідком, а являє собою одну з його умов. У точці біфуркації добір має тотальний характер — йому підлягають системи, їхні компоненти від верхнього до нижнього рівня, структури, взаємозв’язки і взаємини, способи функціонування; а в проміжку між точками біфуркації він відбувається передусім на мікрорівні, згодом наближаючись до макрорівня. Добір здійснюється у процесі конкуренції, що зумовлюється обмеженістю ресурсів і завжди призводить до нелінійних процесів.

Зміна еволюційного і біфуркаційного етапів розвитку систем, їхньої стійкості і нестійкості відбувається циклічно. Кожна система має не тільки циклічні процеси, зумовлені її природою, а й цикли, що нав’язуються їй середовищем (наприклад, зміна пори року, дня і ночі, місячних фаз, циклів економічної кон’юнктури і т. ін.). При цьому «зовнішні» цикли більш стабільні і стійкі, а цикли внутрішнього походження можуть змінюватися під їхнім впливом у результаті синхронізації — здат­ності систем найрізноманітнішої природи виробляти єдиний
ритм спільного існування, незважаючи навіть на слабкий взаємозв’язок між ними.

Процеси самоорганізації в економічних системах реалізуються за допомогою механізму зворотних зв’язків. Якщо, скажімо, як кібернетичну систему розглядати підприємство, то флуктуації, що виникають під впливом зовнішнього середовища (зміни законодавства, зростання інфляції, коливання валютного курсу, динаміки відсоткових ставок, зміни ринкової кон’юнктури, зміни технологій, дії конкурентів тощо), можуть деякий час компенсуватись за допомогою механізму негативних зворотних зв’язків, і система, незважаючи на коливання (сукупного попиту, обсягів виробництва, ринкової позиції та частки ринку, рівня інвестицій, обсягів прибутку), повертається до стану динамічної рівноваги. Але з досягненням критичних значень збурювальних параметрів, за рахунок дії позитивних зворотних зв’язків, відбувається стрімке, лавиноподібне зростання флуктуацій. Вони охоплюють всю систему, усі її блоки — управління, виробництво, фінанси, збут, постачання, організацію праці тощо. Тоді система або руйнується, поглинаючись іншими системами, або переходить на іншу траєкторію розвитку. При цьому істотно змінюються її структура, внутрішні взаємозв’язки, цілі та параметри функціонування тощо.

Отже, розвиток соціально-економічних систем, як і інших складних систем, відбувається через процеси самоорганізації, що містять періодичні зміни фаз руйнування старих і виникнення нових структур (за рахунок дії позитивних зворотних зв’язків), а також їх закріплення та підтримання у порівняно стійкому стані (за рахунок негативних зворотних зв’язків).

Контрольні запитання та завдання

Охарактеризуйте сучасні напрямки розвитку кібернетичних ідей.

Що спільного і в чому відмінності у кібернетичному та синергетичному підходах до дослідження складних систем?

Як ви розумієте терміни «динамічний хаос», «дивний атрактор», «дисипативна структура», «точки біфуркації», «фрактали»?

У чому полягає ідея введення фрактальної розмірності? Наведіть приклади фракталів.

Чим характеризуються нерівноважні стани систем?

Чим відрізняються детерміновані, стохастичні та хаотичні процеси?

Опишіть основні етапи еволюції систем. Наведіть приклади для систем різної природи (фізичних, біологічних, економічних тощо).

Наведіть основні чинники, що змушують системи змінювати свої якісні властивості.

Проаналізуйте основні особливості функціонування економіки України з погляду синергетики.

15. Огляд основних напрямків і підходів синергетики та нелінійної динаміки

До основних математичних методів дослідження в синергетиці належить теорія динамічних систем, яка ґрунтуються на якісній теорії диференціальних рівнянь. З-поміж сучасних напрямків досліджень у рамках синергетики та нелінійної динаміки можна виокремити такі:

Розробка методів описування істотно нерівноважних процесів на основі статистичної фізики. У межах цього напрямку створюються кінетичні моделі, визначаються параметри, необхідні для шуканого опису, виявляються кореляції, масштабні флуктуації, установлюються закономірності переходу до стану рівноваги.

Термодинаміка відкритих систем вивчає стаціонарні стани, тобто стани, що зберігають стійкість у певному діапазоні зміни зовнішніх впливів, досліджує умови самоорганізації — виникнення впорядкованих структур із невпорядкованих. У межах цього напрямку було показано, що процеси дисипації енергії є необхідною умовою самоорганізації (тому такі структури дістали назву дисипативних).

Дослідження якісного поводження розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь, що визначають далекі від рівноваги стани залежно від зміни вхідних параметрів. Цей напрямок дістав назву теорії катастроф. За її допомогою описуються якісні перебудови загальної структури систем — катастрофи, а також визначаються межі стійкості та зміни структури станів. Принагідно зазначимо, що втрата системою стійкості називається катастрофою, а точніше, катастрофа — це стрибкоподібна зміна структури або закону функціонування системи, що виникає внаслідок повіль­ної зміни зовнішніх умов.

З огляду на обмежений обсяг цього посібника, а також на різноманітність методів і підходів сучасної синергетики, складність відповідного математичного апарату та значний обсяг матеріалу тут немає змоги розглянути зазначені наукові напрямки докладніше. А втім, кожний із них висвітлюється в численних спеціальних працях. Зокрема, для першого ознайомлення можна скористатися джерелами, перелік яких наведено наприкінці цього розділу. Тут ми спинимося на кількох основних методах і підходах, які можна безпосередньо застосовувати, досліджуючи економічні системи.

15.1. Принцип підпорядкування Хакена та параметри порядку

Дослідники, аналізуючи функціонування макроекономіки, економіки регіону, сектора, галузі чи підприємства й намагаючись урахувати численні фактори та взаємозв’язки, часто змушені будувати математичні моделі (системи) великої розмірності, що містять десятки або й сотні параметрів і рівнянь. Аналітичний аналіз таких моделей доволі складний і становить окрему проблему, а через це їх важко застосовувати на практиці та інтерпретувати здобувані результати.

Проте існує спосіб редукції відповідних систем до систем рівнянь значно меншої розмірності, завдяки чому вдається подати якісний опис об’єкта за допомогою кількох диференціальних рівнянь. Ідея цього методу полягає в тому, що коли йдеться про опис динаміки системи, не всі її параметри (або процеси, які вони характеризують) мають однакові часові масштаби зміни. Деякі параметри стану (швидкі змінні) можна виразити через інші (повільні змінні) — так звані параметри порядку, у результаті чого кількість незалежних змінних зменшується. Можливість подати швидкі змінні як функції параметрів порядку становить зміст принципу підпорядкування Хакена. Але варто зауважити, що задовго до Хакена цей метод був запропонований О. Тихоновим і відомий як теорема Тихонова. Розглянемо, у чому полягає її ідея.

Розглянемо процес спрощення моделі у вигляді системи n автономних нелінійних диференціальних рівнянь [2]:

Нехай після деяких перетворень систему можна впорядкувати за малим параметром при похідній, тобто подати у вигляді:

де r — малий параметр (r < 1).

Щоб досліджувати поводження системи на короткострокових (порядку r2) і на довгострокових (порядку 1) часових інтервалах, необхідно розглядати повну систему. А коли йдеться про поводження системи на середньострокових часових інтервалах (порядку r), то її рівняння з параметром r2 описують досить швидкі процеси, а рівняння з параметром 1, навпаки — досить повільні. Тому можна вважати, що за час T ¥ r змінні xk не зазнають істотних змін, а отже, у рівняннях, що залишилися, ці повільні змінні можна замінити їх початковими значеннями, знизивши розмірність системи на n – (l + m). Діючи так і далі, ми можемо зредуціювати вихідну систему до системи розмірністю l.

Параметри порядку й принцип підпорядкування належать до числа найбільш фундаментальних понять синергетики. З економічного погляду принцип підпорядкування означає, що можна знайти невелику кількість змінних (можливо, агрегованих, перетворених тощо), які визначають динаміку всієї економічної системи в околі особливої точки, а решта змінних залежить від них.

15.2. Показники Ляпунова

Одним із найважливіших результатів синергетики став висновок стосовно принципової обмеженості довжини часового горизонту прогнозу поводження навіть для порівняно простих систем. Це стосується систем, чутливих до початкових умов. Отже, якщо розглядати дві близькі траєкторії  динамічної системи то відстань між спочатку нескінченно близькими траєкторіями  зростатиме з часом в середньому експоненціально.

Величина  називається показником Ляпунова і характеризує горизонт передбачуваності — проміжок часу, на який можна дати прогноз поводження досліджуваної системи. Існує по одному показнику Ляпунова для кожного з вимірів фазового простору.

Формально показники Ляпунова динамічної системи  визначаються виразом: де  — і-те власне значення матриці, складеної з перших частинних похідних від вектор-функції  за компонентами вектора  (матриці Якобі).

Додатний показник Ляпунова характеризує розтягування фазового простору, або швидкість розбігання близьких точок. Від’ємний показник Ляпунова відбиває стиснення, тобто швидкість, з якою система відновлюється після збурення.

Впорядкований за спаданням такий набір показників утворює спектр показників Ляпунова  і дає змогу класифікувати атрактори (табл. 15.1).

Таблиця 15.1

КЛАСИФІКАЦІЯ АТРАКТОРІВ

Існують різні підходи до кількісного визначення показників Ляпунова, наприклад, алгоритм Бенеттіна (Benettin) [5; 12]. Роз­глянемо дві траєкторії, що виходять з близьких точок x0 та , де . Візьмемо деякий часовий інтервал T і, розв’язавши чисельно рівняння динаміки, знайдемо вектори стану в момент T: . Відношення  характеризує зміну довжини (у загальному випадку норми) вектора збурень за час T. Далі візьмемо інший вектор такого самого напрямку завдовжки e, тобто . Далі продовжимо процедуру чисельного розв’язування рівняння з початковою точкою . Діставши вектори стану та збурень у момент 2T: , обчислимо відношення  і т. д.

Однак цей алгоритм передбачає, що нам відома математична модель динамічної системи. Коли ця модель невідома, ми не знаємо ні матриці Якобі, ні розмірності фазового простору, і тому необхідні інші алгоритми. Так, Вольф (Wolf) запропонував алгоритм розрахунку найбільшого показника Ляпунова за реалізацією часового ряду, ідею якого викладено, наприклад, у [5].

15.3. Дискретні відображення

Якщо стан системи характеризується однією змінною x, тобто розмірність фазового простору дорівнює одиниці, а оператор еволюції задається рекурентним співвідношенням: де n — дискретний час;  — неперервне відображення замкненого інтервалу J дійсної числової прямої в себе, то таке співвідношення називають одновимірним дискретним відображенням.

Точку  називають невиродженою періодичною точкою з періодом k, якщо  де  — k-та ітерація
f-орбітою.

І хоча вираз (15.1) на перший погляд здається надто простим, такі відображення доволі корисні під час аналізу складних систем. Розглянемо кілька типових ситуацій, коли доводиться використовувати дискретні відображення як математичні моделі динамічних процесів [6].

Відображення як моделі процесів із дискретним часом. або коли ми маємо Ідеться про спостереження за процесом у дискретні моменти часу n = 1, 2, 3, …, а отже, у такому разі природно вважати змінну x(n), або як її часто позначають xn, дискретною Скажімо, числові значення багатьох економічних змінних (ВВП, індекси цін, обсяги зовнішньої торгівлі тощо) вдається знайти, як правило, у певні дискретні моменти часу.

Відображення, що виникають у результаті застосування методу Ейлера до розв’язування диференціальнихх рівнянь. Розглянемо, наприклад, модифіковану модель Мальтуса, яка описує динаміку чисельності населення (популяції):що пропорційна кількості населення N. Якщо  то

N(t) ® 1 при t ® ¥. Застосувавши до цього рівняння метод
Ейлера, після заміни змінних дістанемо дискретне відобра-
ження. Відображення, що виникають у процесі чисельного розв’язуванні нелінійних алгебраїчних рівнянь. Так, розв’язуючи рівняння виду x = F(x), будують послідовність , яка збігається до кореня . Це можна зробити методом простої ітерації, згідно з яким , або методом Ньютона.

В обох випадках дістаємо дискретні відображення.

Побудова відображень як метод обробки експерименталь­них даних. Нехай ми спостерігаємо перебіг деякого складно-
го процесу x(t). Позначимо його локальні максимуми через Mk. На площині  відкладатимемо точки з координатами , тобто перша точка буде , друга  і т. д. Як з’ясувалося для багатьох процесів точки  з високою точністю належать однозначним неперервним кривим . Існування такої функції f дає змогу в деяких випадках будувати прості моделі, за допомогою яких за попередніми локальними максимумами вдається знаходити наступні, прогнозуючи характер та поводження досліджуваного процесу.

Для одновимірних неперервних відображень здобуто кілька цікавих результатів. Передусім це теорема Шарковського та її частинний випадок, який дослідили американські математики Лі та Йорке [4; 5]. Так, згідно з результатами Лі та Йорке, якщо  відображення (15.1) має цикл періоду 3, то воно має нескінченну множину циклів решти періодів і нескінченну множину хаотичних траєкторій. Єдина вимога, що накладається на функцію f(x), — це її неперервність. Отже, навіть прості системи можуть поводитися хаотично.

Цей результат є частковим випадком теореми Шарковсь-
кого.

Якщо неперервне відображення одновимірного інтервалу в себе має цикл періоду m, то воно має також усі можливі цикли періоду k, що передують числу m у переліку всіх цілих чисел, записаних у так званому порядку Шарковського:

Найцікавішим для економічного аналізу є так зване логістичне відображення: завдяки аналізу логістичного відображення було з’ясовано багато спільних властивостей одновимірних відображень, зокрема так званий сценарій переходу до хаосу Фейгенбаума. Щоб розкрити його суть, побудуємо графік  (біфуркаційну діаграму). На осі x відкладатимемо значення , що містяться на стійкому цик­лі або на іншому атракторі, а по осі  — значення параметра
(рис. 15.2). Циклу порядку 2 відповідатимуть дві точки на одній вер­тикалі, порядку 4 — чотири точки і т. д. Позначимо через
значення параметра, при яких відбуваються подвоєння, а через  значення параметра, при яких точка x = 0,5 є елементом циклу порядку два, чотири і т. д. Нехай d1, d2 … — відстані між прямою x = 0,5 та найближчою точкою відповідного циклу.

Фейгенбаум показав, що значення точок біфуркації  прямує до границі.

При цьому відношення dn /dn+1 також прямує до границі, яка дорівнює — 2,5029… .

Ще один висновок полягає в тому, що відношення довжин суміжних інтервалів між біфуркаціями також прямують до границі..

Константу d називають сталою Фейгенбаума та використовують для прогнозування досягнення області хаосу. Можна показати, що інтервал між приблизно дорівнює .

Сценарій виникнення неперіодичного руху, хаотичного атрактора в результаті біфуркацій подвійного періоду спочатку було досліджено для логістичного відображення. Пізніше було здобуто строгі результати, що дозволяють виявляти класи одновимірних відображень, для яких перехід до хаосу характеризується сценарієм Фейгенбаума.

Але експериментальні дослідження та комп’ютерне моделювання багатьох нелінійних систем показали, що їм притаманна послідовність біфуркацій подвійного періоду, а значення біфуркаційних параметрів і амплітуди циклів характеризуються тими самими універсальними константами. При цьому досліджувані явища можуть описуватися багатовимірними відображеннями, автономними або неавтономними системами звичайних диференці-
альних рівнянь або рівняннями в частинних похідних. Отже, широ­кий клас нелінійних явищ не тільки демонструє однакову якісну поведінку, а й має універсальні кількісні характеристики.

15.4. Аналіз економічних часових рядів методами нелінійної динаміки

Стохастичні характеристики атракторів. Щоб схарактеризувати атрактори, корисно ввести поняття розмірності. Розмірність визначає кількість інформації, необхідної для визначення ко­ординат точки, що належить атрактору в межах заданої точності. У попередній темі було введено поняття фрактальної розмірності [див. (14.2)]. Більш строго, фрактальною розмірністю атрактора в n-вимірному фазовому просторі називають величину  де  — мінімальна кількість n-вимірних кубів з ребром r, необхідних для покриття атрактора.

Фрактальна розмірність дивних атракторів буде дробовою. Зауважимо, що у формулі для обчислення фрактальної розмірності однаково важливі всі непорожні n-вимірні куби. Це істотний недолік, оскільки дивні атрактори просторово неоднорідні, а деякі області атрактора відвідуються траєкторією частіше за інші. Отже, необхідно знати доволі довгу траєкторію, щоб гарантувати відвідування навіть малоймовірних кубів. З цією метою кожний непорожній куб доводиться зважувати за допомогою відносної частоти, з якою він відвідується типовою траєкторією. Розмірності, які визначаються з урахуванням імовірності відвідування траєкторією різних областей атрактора у фазовому просторі, називають імовірнісними.

Інформаційна розмірність атрактора визначається наступним чином де  — кількість інформації, необхідної для визначення стану системи в межах необхідної точності . Якщо атрактор просторово однорідний, то , інакше .

Інша розмірність, яка також належить до класу й, називається кореляційною та визначається співвідношенням: де  — ймовірність того, що пара точок атрактора належить і-му кубу (імовірність того, що одна точка попаде в і-й куб, буде рі;
за припущення, що трапляння двох точок у і-й куб — незалежні події, імовірність цієї події становитиме ).

Кореляційну розмірність можна також подати у вигляді:

де M — кількість спостережень,  — відстань між точками xi та xj, q — функція Хевісайда:

Величина  називається кореляційним інтегралом (сумою) та визначає ймовірність того, що відстань між двома точками xi та xj буде меншою за . Зауважимо, що всі три розмірності атракторів, які було розглянуто раніше, є частинними випадками розмірності Реньї:

При q = 0 розмірність Реньї збігається з фрактальною розмірністю, при q = 1 — з інформаційною, при q = 2 — з кореляційною розмірністю. Для цілих q розмірність Реньї має таку інтерпретацію: великі додатні q визначають області атрактора, які відвідуються найчастіше, а великі від’ємні значення визначають області, що майже не відвідуються. Таким чином, діапазон розмірності Реньї можна розглядати як характеристику ступеня просторової неоднорідності атракторів.

Алгоритми реконструкції атракторів. Одним із перспективних напрямків досліджень у рамках нелінійної динаміки є розроб­ка так званих «алгоритмів реконструкції атракторів». Це но-
вий клас методів обробки часових рядів, породжуваних детермі­нованими динамічними (хаотичними) системами. Головна ідея застосування цих методів полягає в тому, що основна структура хаотичної системи, яка містить всю інформацію про систему, а саме атрактор динамічної системи, може бути відновлена через спостереження поводження самої цієї динамічної системи, фіксованої як часовий ряд.

Розглянемо ідею методу Грасбергера і Прокачі (Grassberger, Procaccia), відповідно до якого процедура реконструкції фазового простору і відновлення хаотичного атрактора системи зводиться до побудови лагового простору. Припустимо, що даний часовий ряд породжено деякою хаотичною динамічною системою. Припустимо, що m — найменша розмірність фазового простору, в який можна «занурити» реальний атрактор динамічної системи.

Тоді за допомогою часового ряду Xn, n = 1,2, … N, «відновлений» атрактор формується з векторів Yn = (Xn, Xn-1, …, Xn-(m-1)) у m-вимірному просторі, що називається лаговим простором досліджуваного часового ряду. Якщо часовий ряд справді є спостережуваною «проекцією» хаотичної динамічної системи, то згідно з теоремою Такенса реальний атрактор динамічної системи і «атрактор», відновлений у лаговому просторі за часовим рядом згідно з наведеним щойно правилом, у разі адекватного добору розмірності вкладення m матимуть однакові узагальнені фрактальні розмірності, показники Ляпунова та інші числові характеристики.

Якщо ж аналізований часовий ряд є реалізацією випадкового процесу, то відновлений «псевдоатрактор» являтиме собою без-
структурну хмару точок, яка у процесі послідовного збільшення розмірності вкладення лагового простору m, неначе газ, заповнюватиме весь наданий йому об’єм.

Один із тестів, що застосовується на практиці для з’ясування на­явності хаотичної детермінованості в досліджуваному часовому ряді (наприклад, індексах акцій, валютних курсів та ін.), полягає у вивченні властивостей кореляційної суми (інтеграла) Cm(r) і поводження кореляційної розмірності dC залежно від розмірності вкладення m. Як уже зазначалося, кореляційний інтеграл Cm(r) — це ймовірність того, що дві точок на відновленому атракторі в m-вимірному лаговому просторі містяться в межах відстані r одна від одної.

Якщо графік функції logCm(r) відносно log(r) має чітко виражену лінійну ділянку, це вказує на самоподібну геометрію (топологію) атрактора, що, у свою чергу, говорить про хаотичний характер поводження системи, яка «породжує» цей часовий ряд. Кореляційна розмірність обчислюється як середній нахил зазначеного графіка, а помилка обчислення береться як половина різниці максимального і мінімального нахилу. Зі зростанням розмір­ності вкладення кореляційна розмірність збільшується. Однак
для хаотичних даних кореляційна розмірність буде зрештою насичуватися при її справжньому значенні.

Для випадкових даних такого насичення не спостерігається і кореляційна розмірність зростатиме монотонно. Таке поводження кореляційної розмірності пояснюється тим, що в рамках методу Грасбергера—Прокачі кореляційна розмірність для реальних хаотичних систем є непоганим наближенням для фрактальної розмірності дивного атрактора. Фрактал, вкладений у простір з вищою розмірністю, зберігає свою справжню розмірність через нелінійні кореляції між точками. Тому для детермінованого хаотичного часового ряду кореляційна розмірність збігається до свого справжнього значення. Водночас для випадкової послідовності точки відновленого «псевдоатрактора» утворять безструктурну хмару в лаговому просторі незалежно від його розмірності.

Отже, методи реконструкції атракторів дають змогу з’ясувати, наскільки складною має бути модель досліджуваної системи (скіль­ки в неї має бути ступенів волі або параметрів порядку, наскіль-
ки тривалим може бути часовий інтервал, на якому можна прогнозувати поводження цієї системи).

R/S аналіз. Поряд із кореляційним та спектральним аналізом одним із потужних методів дослідження довготермінової пам’яті в часових рядах та з’ясування ступеня їхньої фрактальності є застосування R/S-аналізу (Rescaled Range Analysis), який був запропонований Херстом (Hurst) у гідрології під час вивчення коливань річкових стоків. Б. Мандельброт узагальнив метод Херста з метою дослідження часових рядів довільної природи. Ідея цього методу полягає у вимірюванні зміни з часом рівня нагромадження відхилень від середнього значення часового ряду [9; 12]. Було з’ясовано, що для деяких часових рядів залежність R/S від кількості спостережень N має такий емпіричний закон розподілу:

де  — константа; N — кількість часових періодів спостережень, Н — експонента Херста.  визначається так:

де A(t, N) — нагромадження відхилення часового ряду S(t) від середнього за N періодів :

Якщо показник Н приблизно дорівнює 0,5, то це свідчить про те, що ряд описує випадкове блукання. Коли Н відрізняється від 0,5, то це означає, що спостереження не незалежне. Тобто кожне спостереження містить «пам’ять» про минулі спостереження, минуле поводження ряду, причому не короткотермінову, а саме довготермінову пам’ять.

Якщо 0 £ H £ 0,5 — то ряд буде від’ємно корельованим (антипер­систентним), тобто якщо спостерігалася тенденція зростання ряду в минулому, то варто очікувати надалі на його спадання. А якщо 0,5 £
£ H £ 1 — ряд буде додатно корельованим (персистентним), або трендостійким. Тобто якщо ряд зростає (спадає) в минулому, то ймовірно, що така сама тенденція збережеться протягом деякого часу в майбутньому. Показник Херста пов’язаний із фрактальною розмірністю співвідношенням: .

На практиці для оцінювання показника H часто використовують метод, який полягає в побудові функції лінійної регресії . Якщо побудувати графік цієї регресії в подвійних логарифмічних координатах, то оцінкою показника Херста в цьому випадку буде коефіцієнт нахилу H цієї прямої.

Дослідження, проведені останнім часом (див., наприклад, [9]), свідчать, що багато фінансово-економічних часових рядів, таких як курси акцій, валютні курси, фондові індекси та інші економічні індикатори, мають статистику Херста більш як 0,5, тобто мають фрактальну структуру, або довгострокову пам’ять.

Контрольні запитання та завдання

У чому полягає принцип підпорядкування Хакена?

Як ви розумієте термін «параметри порядку»? Наведіть приклади.

Що характеризують показники Ляпунова?

Чим відрізняється фрактальна розмірність атракторів від імовірніс­ної розмірності?

Доведіть, що інформаційна, кореляційна та фрактальна розмірності є частинним випадком розмірності Реньйі.

Опишіть сценарій Фейгенбаума переходу до хаосу.

У чому полягає ідея методів реконструкції атракторів?

Як розраховується і що дає змогу з’ясувати статистика Херста?

16.1. Моделювання хаотичної динаміки в економіці

Сучасна економіка як складна система розвивається нерівномірно, їй притаманні як режими стійкого функціонування, так і режими хаотичної динаміки. Останнім часом економісти намагаються інтерпретувати хаотичні явища в економіці в термінах детермінованих систем, серед яких широко використовуються дискретні відображення, розглянуті в попередній темі. Так, логістичне відображення та його модифікації завдяки їхнім універсаль­ним властивостям і здатності описувати процеси з доволі склад­ною динамікою широко використовуються в побудові моделей економічної динаміки на макро- і мікрорівні. Розглянемо кілька прикладів використання цього відображення в економіці.

Приклад 1. Класичне логістичне відображення яке в біології використовується для аналізу зростання чисельності популяції, можна застосовувати під час дослідження динаміки зростання малих підприємств. Як було показано в попередній темі, за певних умов у такій системі виникає множина біфуркацій подвійного періоду, а при великих n у системі виникає хаос.

Або в моделі адаптації фірми в ринкових умовах [12] її стратегію можна описати логістичним рівнянням: де хt — рівень доходу фірми в момент часу t; l — параметр, що залежить від тривалості виробничого циклу та характеризує певний спосіб виробництва; L — рівень прибутку, необхідний для того, щоб обсяги продажу в майбутньому забезпечили нормальний рівень прибутку; H — максимальний рівень прибутку. Можна показати, що рівняння (16.2) зводиться до класичного логістич­ного відображення, і тому при деяких значеннях параметрів ця  модель описує хаотичне поводження системи.

Приклад 2. Процеси ціноутворення в павутиноподібній моделі фірми можна також розглядати за допомогою логістичного відображення [1]. Оскільки залежність надлишкового попиту D на товар від його ціни P можна описати рівняннями: де q — кількість товару; H — функція корисності, то максимум функції корисності досягається при . При великому l на ринку виникає хаос у поводженні цін.

Приклад 3. Аналогічну модель можна побудувати для інвестиційної динаміки. Зі зростанням інвестицій економіка наближається до інвестиційного бар’єру. Лаг між інноваціями та їх реалізацією зменшується. При цьому зменшується можливість апро­бування альтернатив і зростає загальна невизначеність. Орієнтація на поточну кон’юнктуру спричинює надлишок капіталу, зниження темпів виробництва та продуктивності, що може призвести до інвестиційної кризи на ринках капіталу. Логістичне відображення можна також використовувати в дослідженні критичних режимів та хаосу на фондових і валютних ринках [9].

Приклад 4. Розглянемо модель самоорганізації ринку праці, динаміка якої залежить від кількості зайнятих у галузі  у пев­ний момент часу. Передбачається, що місткість ринку праці ста-
ла й дорівнює , тоді  — кількість потенційних безробітних або кількість вільних робочих місць. Розглядаються ймовірність того, безробітний знайде роботу в проміжку часу , яка залежить від кількості вільних робочих місць , та ймовірність звільнення, що залежить від кіль­кості вільних робочих місць . Вва-
жається, що . Можна показати, що існує лінійна заміна змінних, яка приводить рівняння  до класичного логістичного відображення .

Приклад 5. Деякі моделі мають форму, схожу на рівняння класичного логістичного відображення. Розглянемо, наприклад, макроекономічну модель зростання, запропоновану Хаавельмо [2]:

де N — чисельність населення; Y — реальний обсяг виробництва; a, b, A, a — константи. Отже, можна побачити, що закон зростання являє собою узагальнення логістичного відображення.

Якщо взяти, скажімо, a = 1/2, то для a < 4 рівновага буде стійкою, тобто вона досягається будь-якою траєкторією, що починається в довільній точці. Але при 4 < a < 5,75 траєкторії не будуть рівноважними, а залишатимуться в області, обмеженій нулем та одиницею. Фактично тільки-но параметр a > 4, нестійка точка рівноваги розпадається на дві стійкі точки з періодом два, тобто відбуваються біфуркації подвійного періоду. При значеннях параметра, що перевищують 4,8, двоперіодичний цикл стає нестійким, і кожна двоперіодична точка розпадається на дві чотириперіодичні точки.

Зі зростанням a цей біфуркаційний процес триває, генеруючи невироджені орбіти періоду 2k (k = 2, …). Область, усередині якої зароджуються стійкі орбіти періоду k, які далі стають нестійкими та розпадаються на 2k-періодичні орбіти, обмежена значенням параметра  (точне його значення невідоме). Інтервал  називають областю хаосу.

У цьому підрозділі ми розглянули приклади застосування для моделювання хаотичної динаміки в економічних системах однієї з найпростіших нелінійних моделей — логістичного відображення. Зрозуміло, що для побудови адекватних моделей економічної динаміки часто доводиться застосовувати складніші моделі, наприклад багатовимірні відображення, системи нелінійних диференціальних рівнянь [1; 2; 7; 9; 12; 13]. Зокрема, у монографії [12] розглядаються властивості узагальненого логістичного відображення, що задається рекурентним співвідношенням і наведено приклади його використання в моделюванні економічної динаміки.

Розглянуті приклади показують, що процеси, які описуються навіть простими нелінійними моделями, при деяких значеннях параметрів мають хаотичне поводження, яке здається випадковим і може помилково пояснюватися дією неврахованих або випадкових факторів. Але в детермінованих нелінійних моделях хаос породжується саме нелінійністю. З цього випливає, що під час побудови моделей економічної динаміки введення теоретично обґрунтованих нелінійних залежностей поряд із використанням випадкових змінних дає змогу успішно пояснювати різноманітні економічні флуктуації.

16.2. Швидкі та повільні змінні в аналізі макроекономічної динаміки

У рамках різних економічних теорій встановлювані швидкості одних і тих самих макроекономічних змінних можуть істотно різ­нитись. Наприклад, у кейнсіанській теорії рівень заробітної пла-
ти вважається фіксованим, а в неокласичній моделі [2] передбачається, що це швидка змінна, залежна від продуктивності праці та розміру капіталу, значення якої встановлюється в результаті
конкуренції.

Розглянемо кілька прикладів, що ілюструють різницю у тлумаченні швидкості макроекономічних змінних. Так, у загальному випадку економічна динаміка може бути описана системою:

 (16.4)

де ; r << 1 — малий параметр; x1 — вектор, що характеризує кількісні змінні (розмір капіталу, зайнятість); x2 — вектор монетарних факторів (рівень цін, грошова маса, зарплата); x3 — вектор технологічних факторів;  — деякі загалом нелінійні функції.

У моделі економічної динаміки Вальраса кількісні змінні вважаються швидкими щодо монетарних (табл. 16.1). Технологічні зміни вважаються незначними, і їх тлумачать як сталий параметр протягом розглядуваного проміжку часу. Тому згідно з принципом підпорядкування Хакена при  та з огляду на те, що , модель динаміки Вальраса можна редуціювати до одного рівняння: тобто економічна динаміка зумовлюється зміною монетарних факторів.

Таблиця 16.1

ПАРАМЕТРИ ШВИДКОСТІ ЕКОНОМІЧНИХ ЗМІННИХ У МОДЕЛЯХ
ЕКОНОМІЧНОЇ ДИНАМІКИ (R << 1 — МАЛИЙ ПАРАМЕТР)

У моделі Маршала вважається, що економічна динаміка (описувана системою (16.4)) визначається зміною кількісних змінних, тоді як технологія залишається незмінною, а монетарні фактори є функцією від кількісних змінних.

У моделі Шумпетера вважається, що кількісні та монетарні змінні встановлюються швидше стосовно технологічних факторів. Проте технології протягом розглядуваного проміжку часу можуть змінюватись.

Отже, між часовою шкалою та швидкістю встановлення економічних змінних існує тісний зв’язок. Якщо ми розглядаємо порівняно короткий проміжок часу, то повільні змінні можна тлумачити як константи, а якщо ми аналізуємо поведінку системи в довготерміновій перспективі, то швидкі змінні можна розглядати як функції повільних, і тому швидкі змінні будуть неявно присут­ні в рівняннях динаміки.

Наприклад, якщо розглядається річний часовий період і система стійка, то під час аналізу макроекономічної динаміки може виявитись достатнім розгляд динаміки цін, валютного курсу, заробітної плати, споживання тощо. Проте, коли йдеться про дослідження поводження економіки на довших часових інтервалах (п’ять років і більше), екзогенними будуть фактори, що описують світові тенденції (наприклад, глобалізацію), розвиток технологій, інституціональні зміни тощо.

16.3. Застосування принципу підпорядкування при дослідженні соціально-економічних систем

В економіці, як і в інших складних системах, існують власні параметри порядку. У моменти загострення нерівноваги зростає нестійкість саме цих параметрів, і під їхнім безпосереднім впливом відбувається процес утворення нових структур, формується нове поводження елементів системи. Характерним для параметрів порядку є те, що після виходу системи зі стану рівноваги вони відновлюються повільніше, ніж інші параметри системи. Зауважимо, що в економічній науці на відміну від природничих наук питання про виділення параметрів порядку й з’ясування їхнього впливу на розвиток економіки з метою використання їх як параметрів управління лише починає вивчатися.

У біологічних та соціально-економічних системах на відміну від більшості фізичних систем параметри управління генеруються самою системою, а також накладаються на неї ззовні і вже після цього починають чинити на неї зворотний вплив, призводячи до нестійкості та флуктуацій. Для економіки це має принципове значення, оскільки розширюється коло явищ, що вводить у дію механізми самоорганізації. Це можуть бути зовнішньоекономічні фактори (вплив на економіку інших суспільних підсистем) і внутрішні фактори, зокрема зростання державного боргу, значний дефіцит державного бюджету, високі темпи інфляції, надвисокі ставки податків, які, досягаючи певних критичних значень, можуть спричинити незворотні зміни в системі. Як параметри управління можна розглядати також засоби й інструменти економічної політики (фіскальної, грошово-кредитної, митної тощо).

Утворення складних структур через механізм самоорганізації завжди супроводжується виникненням когерентності, погодженості функціонування елементів і підсистем, синхронізацією їхніх дій. Природно, що чим складніші та більш диференційовані елементи системи, тим складніша інформаційна мережа необхідна для такого погодження.

Але за обмежених можливостей сприйняття та переробки інформації складні системи мають обмежену кількість можливих стійких структур власних підсистем і елементів. За принципом підпорядкування параметри таких підсистем (параметри порядку) визначають поводження не тільки власних елементів, а й інших підсистем, зрештою — стан системи в цілому. Ці параметри «інформують» інші елементи системи про бажаний тип поводження, за якого досягається підтримання цілісності всієї системи. Оскіль­ки параметрів порядку значно менше, ніж елементів системи,
то відбувається значне стиснення інформації. Ця властивість самоорганізації складних систем є дуже важливою для розуміння економічних процесів.

Розглянемо як приклад функціонування банківської системи в ринковій економіці. Центральний банк змінює рівень облікової ставки. Ці зміни за ланцюгом передаються на ринок міжбанківських кредитів, а потім на ринок позикового капіталу, що обслуговує взаємодію між комерційними банками та іншими секторами економіки. Зміна облікової ставки запускає певний механізм самоорганізації як у банківській системі, так і в економіці в цілому, оскільки ця зміна хоча й здійснюється директивно але не довільно керівництвом ЦБ, насправді є відповідною реакцією на сигнали, що надходять від економічної системи каналами зворотних
зв’язків.

Зростання облікової ставки (або ставки рефінансування) стримує пропонування грошей, уповільнює зростання попиту, інвестиційні процеси та розвиток економіки в цілому. Якщо ж банки свідомо не підвищать свої ставки за кредитами, то розширення грошового пропонування лише прискорить темпи інфляції, що призведе до збитків банків. Таким чином, у банківській системі облікова ставка поряд з іншими інструментами (наприклад, валютним курсом, нормами резервування залучених коштів тощо) є своєрідним параметром, що впорядковує поводження інших елементів цієї системи та поряд із цим «інформує» про майбутнє бажане поводження та стан системи в цілому. Отже, вона є інструментом стабілізації банківської системи в рамках всієї економіки, але імпульси, що свідчать про необхідність її зміни генеруються не тільки самою банківською системою, а надходять ззовні, із навколишнього економічного середовища.

Отже, доходимо висновку, що з огляду на багатогранність властивостей соціально-економічних систем можна припустити наявність цілого спектра параметрів порядку. Вони, наприклад, можуть характеризувати відносини власності, форми координації економічних агентів, пропорції відтворення, функціональні зв’язки в економіці тощо. Кількісні характеристики параметрів та їхній склад можуть змінюватись на різних стадіях еволюції системи, причому визначення цих параметрів потребує аналізу закономірностей поводження економічної системи протягом тривалого часу.

16.4. Синергетичний підхід до управління економічними системами

В економічній теорії розроблено різні концепції структурно-функціонального управління. Спільним для них є кібернетичний підхід до управління економічною системою, в якій виокремлюються такі структурні компоненти, як входи та виходи, пристрій (орган) управління, об’єкт управління. На вхід системи подаються матеріальні, трудові, фінансові та інформаційні ресурси. На виході системи дістаємо кінцевий продукт (товари та послуги), що перебуває у функціональній залежності від вхідних параметрів.

З погляду кібернетики процес управління складними системами полягає у здійсненні керуючих впливів системи управління на керовані підсистеми для досягнення оптимального функціонування об’єкта в цілому. Оптимальне управління настає за умови, що система перебуває у стійкому стані гомеостатичної рівноваги. У цьому стані вона досягає максимуму своєї ефективності, найбільш продуктивного режиму економіч­ного зростання.

Тому головне завдання кібернетичного управління великими економічними системами полягає в пошуку та реалізації таких керуючих впливів, які за наявності зовнішніх і внутрішніх збурень забезпечать гомеостатичний режим функціонування та розвит­ку системи.

Методологія управління економічними об’єктами у своїх загальних положеннях ґрунтується на системних принципах теорії автоматичного регулювання (див. попередній розділ). Автоматичне управління (авторегуляція) є способом самоорганізації, який характеризується здатністю складних систем відновлювати та зберігати нормальний функціональний стан чи самостійно вибирати новий, більш бажаний стан та переходити в нього.

Отже, авторегуляція приводить до підвищення організованості нерівноважних систем у результаті вибору оптимальних станів на шляху до свого вдосконалення. Це наочно виявляється в живих системах управління, в яких зростання стійкості та адаптованості до зовнішнього середовища (за рахунок гомеостатичних механізмів) нерозривно пов’язане зі зростанням їхньої організованості ( тобто зі зниженням ентропії).

На відміну від кібернетичного підходу в синергетиці вважається, що визначальною умовою для забезпечення оптимального поводження складних економічних систем є саме наявність нерів­новажних станів та процесів самоорганізації. Нерівновага дає змогу здійснювати вільний вибір варіанта подальшого розвитку з цілого спектра можливих напрямків. Якщо рівноважний стан є необхідною умовою для стаціонарного існування економічних систем, то нерівноважний стан являє собою момент переходу до якісно нового стану, в якому економічна система може здобути більш високий рівень організації та продуктивності.

Тільки тоді, коли економічна система втрачає функціональну стійкість, виникають самоорганізаційні процеси формування нових ефективних структур. В нових умовах функціонування економічна система проходить свої рівноважні стани як проміжні етапи на траєкторіях нерівноважної самоорганізації. Ідеться про те, що в періоди нестабільності можуть спонтанно виникати паралельні неформальні структури, наприклад відпрацьовані схеми ухилення від податків, спрямування фінансових потоків в офшор­ні зони, неплатежі постачальникам, бартерні схеми розрахунків,
виплати заробітної платні «чорною» готівкою тощо. За певних умов вони можуть бути досить стійкими, що свідчить про стихійний вихід системи на не оптимальну щодо економічної ефективності траєкторію розвитку.

З погляду синергетики неефективне управління соціально-економічними системами полягає в нав’язуванні системі такого поводження, яке їй не властиве. Згідно із синергетичною концепцією більш ефективним буде так зване, «м’яке» управління (на відміну від «жорсткого», програмного). М’яке управління — це управління за допомогою незначних, але належних резонансних впливів, які мають відповідати власним внутрішнім тенденціям розвитку системи. Головна мета такого управління полягає в тому, щоб завдяки незначному резонансному впливу «підштовхнути систему» до одного із її власних сприятливих шляхів розвит­ку. Своєчасні резонансні впливи можуть виявити значні, потужні внутрішні резерви системи.

Синергетичне управління базується на таких положеннях: існують спектри можливих майбутніх станів, і тому завдання управління полягає у виборі найкращого з доступних варіантів; хоча шляхів розвитку може бути багато, але їх кількість скін­ченна; у процесі управління необхідно враховувати не тільки стан зовнішнього середовища, а й власні тенденції еволюції системи;  головним є не сила (інтенсивність, тривалість) управлінського впливу, а його правильна топологія (просторова та часова) і узгодженість із власними тенденціями розвитку системи.

Таким чином, сутність синергетичного підходу до ефективного управління системою полягає в тому, що він орієнтований не на зовнішні властивості, не на цілі та сподівання суб’єкта управлінської діяльності, а на внутрішні властивості системи, її власні закони еволюції та самоорганізації. При цьому увага приділяється погодженості управлінського впливу із власними тенденціями динаміки системи.

Синергетичний підхід до управління орієнтований на пізнання закономірностей самої системи та процесів її самоорганізації. Незначний, але погоджений резонансний вплив в точках біфуркації може призвести до суттєвих змін у траєкторії руху (поводженні) системи.

Контрольні запитання та завдання

Наведіть приклади використання логістичного відображення для моделювання економічної динаміки.

Проаналізуйте швидкі та повільні змінні у процесі аналізу макроекономічної динаміки для різних часових інтервалів. Наведіть прик-
лади.

Які, на ваш погляд, параметри порядку визначають функціонування світової економіки, економічних систем розвинених країн та країн із перехідною економікою, фінансових, товарних, фондових ринків?

Проаналізуйте параметри порядку для економіки України в цілому, для окремих секторів та галузей

Які з цих параметрів можна використовувати як параметри управління?

Що спільного і відмінного мають кібернетичний та синергетичний підходи до управління?

У чому полягає сутність синергетичного підходу до управління економічними системами?